Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

зок склоняет нас к тому, чтобы интерпретировать первый фактор у (1> как фактор общей одаренности, а второй фактор г/<2>как фактор гума­ нитарной одаренности.

В прямой постановке задачи классификации (т. е. при классифи­ кации обследованных учащихся) исследователь должен был бы, в пер­

наты точек (у[\\ у™) = (qtl, qi2) определяются нагрузками /-го ис­ ходного признака на общие факторы (/ = 1, 2, ..., 6). Соответственно точку {ди, <7і2) удобно интерпретировать как изображение і-го исход­ ного признака х<(). Расположение точек на рис. 4.7 свидетельствует о естественном распадении совокупности исходных признаков на две группы: группу гуманитарных признаков (хС), х<2>, х<3)) и группу математических признаков (х<4>, х<5>, х<в>).

Кстати, подобная геометрическая интерпретация помогает вы­ брать вращение системы общих факторов, наиболее подходящее с точ­ ки зрения возможности их содержательной интерпретации. Дело в

1 Аналогичную задачу классификации ткачих при исследовании их произ­ водительности труда см. в п. 4 предыдущего параграфа.

183

образование, такой поворот осей г/<1>, г/<2>, ..., у (р,), при котором по­

лучаемые при этом новые общие факторы г/*1), г/<2), ..., у(р">допус-' кают наиболее естественную и убедительную содержательную интер­ претацию. Рассматривая расположение исходных признаков в плос­ кости г/(1>0 г/<2> или в пространстве, натянутом на первые три об­ щих фактора, естественно повернуть координатную систему таким образом, чтобы координатные оси прошли через наиболее четко вы­ раженные сгущения точек-признаков (см. поворот, намеченный пунк­

тирными осями г/<Р и г/(2>на рис. 4.7). При этом иногда бывает полезно отказаться от ортогональности общих факторов, переходя к косо­ угольной системе координат.

§ 3. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ

Описанные выше методы сокращения размерности факторного пространства (метод главных компонент и модели факторного анализа) допускали интерпретацию в терминах той или иной строгой вероятно­ стной модели и, следовательно, подразумевали возможность исследо­ вания свойств рассматриваемых процедур в рамках теории математи­ ческой статистики (см. п. 3., § 1,2 настоящей главы). В данном пара­ графе речь пойдет о методах, подчиненных некоторым частным целе­ вым установкам (наименьшее искажение геометрической структуры исходных «выборочных точек», наименьшее искажение их эталонного разбиения на классы и т. д.), но не формулируемых в терминах вероят­ ностно-статистической теории ]. Процедура выбора той или иной целе­ вой установки, подходящей именно для данной конкретной задачи, практически не формализована, носит эвристический характер, т. е., как правило, обусловливается лишь опытом и интуицией исследо­ вателя. Поэтому мы и будем называть такие методы эвристическими.

Надо признаться, что при отсутствии априорной или выборочной предварительной информации о природе исследуемого вектора наблю­ дений и о генеральных совокупностях, из которых эти наблюдения извлекаются, точно в таком же невыгодном положении находятся методы, факторного анализа и главных компонент. Однако для них

1 Отсутствие строгой вероятностно-статистической модели, лежащей в ос­ нове тех или иных методов, не исключает возможности использования отдель­ ных вероятностно-статистических понятий и соответствующей терминологии, как это имеет место, например, в методе экстремальной группировки факторов, в методе корреляционных плеяд и некоторых других.

184

все-таки существует принципиальная возможность теоретического обоснования (при наличии соответствующей дополнительной инфор­ мации), в то время как эвристические методы не претендуют и на это.

Хочется подчеркнуть, что факт описания здесь методов сниже­ ния размерности, не использующих предварительной информации, например, обучающих или квазиобучающих выборок, следует рас­ ценивать лишь как следствие признания неизбежности ситуаций, в которых мы такой информации не имеем, но не как стремление рек­ ламировать эти методы в качестве наиболее эффективных. В действи­ тельности же обоснованное и эффективное решение задач снижения размерности без слепой надежды на удачу, можно, по нашему мнению, получить лишь на пути глубокого профессионального анализа, до­ полненного статистическими методами, использующими предвари­ тельную выборочную (обучающую) информацию.

1. Методы, не использующие обучающих выборок

а) Нелинейное отображение выборочных точек в пространство мень­ шей размерности, наименее искажающее их геометрическую конфигу­ рацию. Пусть, как обычно, Х ъ Х 2, ..., Хп — результаты р-мерных

Метод, предложенный в работе 131], состоит в нелинейном однознач­ ном отображении п данных точек (векторов) из р-мерного исходного факторного пространства Rp в пространство меньшей размерности. Особенно важны отображения в двухили трехмерное пространство (р' = 2,3), так как полученная там конфигурация из п точек поддает­ ся непосредственному графическому изображению. Ставится цель ми­ нимально (в некотором смысле) исказить исходную конфигурацию из п точек. Опишем этот метод и укажем некоторые возможности его модификации.

Пусть в результате некоторого однозначного отображения (проек­ ции) П имеющиеся у нас исходные многомерные наблюдения

( 1 )

преобразованы (спроектированы) в соответствующие п наблюдений

185

У2, ■ Уп, попарные расстояния d*j между исходными точками X, и Xj преобразуются в расстояния йц = р£ (К,, Yj)- В качестве меры

искажения конфигурации исходных точек введем величину А, кото­ рую естественно рассматривать как функцию от переменных г/^ѵ> (ѵ =

Предлагается следующая эвристическая итерационная процедура подбора переменных г/-ѵ> с целью минимизации функции

ных компонент (см. § 1 настоящей главы).

На ряде примеров удалось показать, что данная процедура приво­ дит к отображению П, которое достаточно хорошо сохраняет некото­ рые геометрические свойства исходной конфигурации точек.

Так, в качестве исходных данных брались 9 точек, расположен­ ных на прямой в R9 на равных расстояниях друг от друга; после при­ менения к ним описанной выше процедуры, задающей преобразо­ вание П, на плоскости были получены точки, лежащие на одной прямой.

При отображении конфигурации из 8 точек, лежащих на окружно­ сти в R9 на равных расстояниях друг от друга, и центра этого круга, на плоскости R2 были получены точки, лежащие практически на ок-

186