Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

величин ff1), /(2), /<р') будет выбираться такой набор, что каждая из величин ffl) в среднем наиболее «близка» ко всем признакам своей группы.

где Я,г — максимальное собственное значение матрицы 2 г, составлен­ ной из коэффициентов корреляции переменных, входящих в А х. При этом оптимальный набор факторов ff1), I = 1, 2, ..., р' задается фор­ мулами:

где

Д/ =сог (х(0, л:0)), а а (0 = (а (/ ), 4 г), ..., а ^ )

— собственный вектор матрицы 2 г, отвечающий максимальному соб­ ственному значению Яг, т. е.

но построить разбиение Slt S 2, ..., SP', максимизирующее Jx при фик­ сированных ff-1'), ff2), .... ffp'), а именно:

S, = {/: cor2 (лД>, ffl)) ^cov2(xfi), ffq)) для всех q —1,2,..., p'. (4.37)

Заметим, что соотношения (4.36) и (4.37) являются необходимыми ус­ ловиями максимума Д.

шаге.

Пусть на ѵ-м шаге итерации построено разбиение параметров на группы Аг, ..., Ар'. Для каждой такой группы параметров строят фак­

192

Если для некоторого параметра лЛ) найдутся два или более факто­

поэтому данный алгоритм будет сходиться к максимуму. Максимум может быть локальным.

Для описания второго алгоритма экстремальной группировки при­

(где gi — некоторые числовые коэффициенты, равные либо +1 либо —1) достигает максимума как по разбиению на группы, так и по значениям коэффициентов gt. Здесь под Dz понимается, как обычно, дисперсия случайной величины z;

имеет вид (4.39), то при любом наборе коэффициентов gi — ±1 и любом разбиении параметров на группы имеет место соотношение J 2 ^ ^ J з, а если же J3достигает максимума, то J 2 — J 3. Из этого утвер­ ждения следует, в частности, что для нахождения групп Si и факторов

Поэтому естественно воспользоваться рекуррентной процедурой

равные плюс или минус единице, и пусть на этом шаге рассматривает­

Аі*\ остальные группы признаков на этом шаге не меняются. В резуль­ тате получаем новое разбиение признаков —

На следующем (v -f 1)-м шаге алгоритма рассматривается пара­ метр х^+1\ если і Ф р, и Xt1), если і = р.

Процедура заканчивается, если при рассмотрении всех признаков очередного цикла сохранились как разбиения признаков на группы, так и значения всех коэффициентов; полученное разбиение и значения коэффициентов рассматриваются как оптимальные.I

194

Для демонстрации сходимости метода к локальному максимуму в [5] доказывается, что на каждом шаге алгоритма значение J 3 не убывает.

Нетрудно проследить идейную близость метода экстремальной груп­ пировки признаков с методами, опирающимися на логическую схему факторного анализа. Так, например, отправляясь от общей модели

(см. (4.9) и (4.20)), первую компоненту /О) и «нагрузки» llt в методе главных компонент можно определять, как мы видели (см. п. 2 § 1 глава IV) из условия минимума выражения

2 D (лД) —1и /('>) (= 1

при нормирующем ограничении

D/(') = l. '

Решение этой условно-экстремальной задачи очевидным образом сводится к нахождению максимума выражения

р

2 [сог(лѴ>, /О)]2 при условии D/<1>= 1. ;= 1

Для построения следующего фактора /<2>(второй главной компоненты рассматриваются случайные величины

Ѵ г2>= х ( і ) — сог(лД) J0>)./(i).

Для этих случайных величин аналогичным образом находится сле­

дующий фактор /<2>и так далее.

Очевидно, что при реализации первого алгоритма метода экстре­ мальной группировки признаков для каждой группы признаков Лг строится фактор, имеющий смысл 1-й главной компоненты для этой

Сравнение выражений (4.41) и (4.42) с выражениями(4.39) и (4.40) по­ казывает, что максимизация функционала J 2 приводит кпостроению