Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
§ 7.4. УСТАНОВИВШИЕСЯ ОШИБКИ СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим замкнутую АС (рис. 7.2). к входу которой при ложены случайный полезный сигнал (планируемая составлн- I! тая входного воздействия) х п (7) и случайная помеха (непла-
нпруеман составляющая входного воздействия) д'н (().
Необходимо, чтобы выходное воздействие у (/) |
наиболее точ |
||
но соответствовало планируемой составляющей |
входного воз |
||
действия хп (t). |
В этом случае ошибка системы |
(7.28) |
|
|
|
s (t)=xn (t)— y{t), |
|
а входное воздействие |
|
||
При воздействии |
*(0 = *п (*)+*н(0- |
(7.29) |
|
на АС случайных сигналов дс,,(^) и хн (t) |
|||
ошибка системы |
е (0 |
все время меняется. Установившееся зна |
|
чение ошибки отсутствует. Поэтому определяют не саму ошибку
системы или ее установившееся |
значение, а величину |
среднего |
||||||
значения |
квадрата |
ошибки е2((). Для определения |
е2 (t) тре |
|||||
буется знать величину |
спектральной плотности сигнала ошиб |
|||||||
ки |
(о>) |
(7.16), |
которая может быть определена как |
|||||
|
|
|
|
|
(ш) = |
Нш |
Ег ( — / со) Е 7.(/со), |
(7.30) |
где |
|
|
|
|
|
dt, |
|
|
|
е 7.(-(«>)= У |
|
}и>Т |
|
|
|||
|
в (/) е |
dt. |
|
|
||||
|
|
-т |
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с определением ошибки системы (7.28) имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
Ег (/ш)=Хпт (/со) — YT(/со), |
(7.31) |
||
где |
А''пт (/со) = |
+ Т |
|
— ]ш Т |
|
|
||
j |
хп (/) с? |
dt, |
|
|
||||
|
|
|
—Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
+г |
_ . шГ |
|
|
||
|
Yп (/св)= |
j |
y(t)e |
1Ш dt. |
|
|
||
144
Аналогичным образом преобразуется Ё?.(— /<■>). Учитывая уравнения (7.30) и (7.31), можно записать:
5= (ш) = П т -^р= г |Х пт (— /со) — У г ( — / ш)] [ У п т (/со)— К г (/ю )] —
сс£ I
=Ит-^г ( |X пт (/со) 2+|Кг(/со)|2—А’пт(—/«>) У Г ( П ~
- Х Пт(/о))Ут-(/со)1. |
. (7.32) |
Преобразуем далее отдельные слагаемые выражения (7.32), находящиеся под знаком предела:
а) в соответствии с уравнением (7.9) первое и второе слага емые будут иметь вид
Нш |
2^г|Хпт(/‘о)Г =5п(со) и |
Пш - ^ г |K7 (/co)|2= S 4(co), |
(7.33) |
|||||||||
причем второе слагаемое на основании выражения (7.32) |
может |
|||||||||||
быть |
приведено |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
S 2 H = S 1(со) |ф (/со) 2. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
У т(/<*>) |
|
|
|
|
б) |
умножая и деля третье слагаемое на Хт(/«) ’ |
группируя |
||||||||||
члены и преобразуя |
в |
соответствии |
с |
уравнениями |
(7.19) и |
|||||||
(7.9), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Игл -Д р гХпт (—И У т ( П = ; l i m |
|
lim |
p L |
Xm (—/со) Хг(/со)= |
||||||||
\]№) |
Нш |
|
|
|
|
|||||||
У’-r |
|
|
|
|
/'-* оо А 7 |
I -► со |
^ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0(/io)Sm(/co); |
|
|
|
|
(7.34) |
||
в) |
|
после |
аналогичных преобразований |
четвертое |
|
слагаемо |
||||||
будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
____ |
|||||
|
Игл |
А'пт (Н У г (—/со)=ф(—/со) Sm (/со). |
|
|
(7.35) |
|||||||
Подставив |
значения |
отдельных |
слагаемых, |
полученные |
||||||||
после преобразований, в выражение (7.32), |
найдем |
использу |
||||||||||
емую |
при |
расчетах формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Sc (co)=Sn И + |Ф (/<») |2 |
(со) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ф (/со) Sm (/u>)—Ф (—/со) Sin (/<“)• |
|
|
(7.36) |
||||||
Имея |
значение |
спектральной |
плотности |
сигнала |
ошибки, |
|||||||
можно получить среднее значение квадрата случайной |
ошибки |
|||||||||||
в соответствии с выражением (7.16) по формуле |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Г2( ^ ) = ~ +| |
S«(co) cfco. |
|
|
|
(7.37) |
|||
10 Учебник |
145 |
Если планируемая xn(t) и непланируемая хн (?) составля ющие входного воздействия являются корреляционно незави симыми, то их взаимная спектральная плотность будет равна нулю. В соответствии с этим теория случайных функций позво ляет вывести следующие зависимости, приводимые без дока зательств:
|
|
5 П|(H = Sп (со)— Sni ( —/“ )> |
(7.38) |
||
|
|
Si (u>)=:Sii H |
+ Sh(ш). |
(7.39) |
|
Учитывая эти |
зависимости и |
подставляя значение |
Se (си) из |
||
уравнения |
(7.36) |
в уравнение (7.37), можно получить |
|
||
7’ (t) |
= - 1 г j |
([1+ |
|Ф (/«*>) |2- Ф (усо)-Ф (—/«0)1 5 П(со) + |
||
|
|
+ |
|ф (/ш) I2 S h (со) ! Фи |
(7.40) |
|
или после |
преобразования |
|
|
||
Г2( ( ) = ^ г +| |
(11 — Ф (/со) |25 п («') Ь |Ф (/to) |aS|-i (со)) фи. |
(7.41) |
|||
Это выражение позволяет получить квадрат ошибки через частотную характеристику замкнутой системы. Если известны спектральные плотности планируемой составляющей 5ц(со) и непланируемой составляющей Sh (со) входного воздействия, а также частотная характеристика разомкнутой системы W (/со),
то квадрат искомой ошибки е2 (^) будет определяться следу ющим соотношением:
|
__ 1_____ |
W ( i со) |
Sh (co)U/co. (7.42) |
|
S(t) |
--00 1-f W (/со) SYi (со) -|- |
НИР (/со) |
||
|
Из этого уравнения следует, что, несмотря на то, чго планиру емая и непланируемая составляющие входного воздействия поданы на систему в одном и том же месте, их влияние на вели чину ошибки различно.
Действительно, на выходное воздействие y(t) и планиру емая х п (0 и непланируемая х и (0 составляющие входного воз
действия влияют одинаково. Однако сама ошибка е(0 опреде ляется как разность между планируемой составляющей входно го воздействия н выходным воздействием е(£) = хп (/) — у (t), так
как задачей системы является отработка планируемой состав ляющей входного воздействия.
Если планируемая и непланируемая составляющие входного сигнала приложены в разных точках системы, то среднее значе-
146
нйе квадрата ошибки будет определяться следующей формулом
s2 (t) = тг^ [ 1101 (Н |2 Sn (со)+ |Фа (/ш) I2 SH(ш) |
! dw, (7.43) |
где Ф1 (/со), Ф2(/со) — частотные характеристики |
замкнутой |
системы, определяемые соответственно для планируемой и непланируемой составляющих входного сигнала в зависимости от места их приложения.
ГЗ реальных условиях спектральная плотность сигнала ошибки АС Sb ( со) часто может быть представлена дробно рациональной функцией следующего вида:
( 7 -4 4 )
В этом уравнении многочлен А (/со) , как содержащий левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, удовлетворяет условию устойчивости, а многочлен' В (/со) со держит только четные степени со, так как этот полином являет ся вещественной функцией частоты. В этом случае выраже ние (7.37) для определения среднего значения квадрата случай ной ошибки будет иметь вид
|
|
J |
_ |
7 |
В(М |
, |
|
(7.45) |
|
|
|
£2(0 = / л 2 тс |
J |
|А (/со) |2 “ |
|
||||
При этом подынтегральные многочлены могут быть |
представ |
||||||||
лены |
как |
A {j(d)=a0(/со)" + а гЦа)п- ' + |
•••+а,„ |
|
(7.46) |
||||
|
|
|
|||||||
|
5(/со) = 60(/со)2(«-» + б1(/(й)2(«-2)+ ... +й„_, |
(7.47) |
|||||||
и все |
корни |
А (/со) расположены в |
верхней |
полуплоскости. |
|||||
Значения /„ выражения (7.45) |
для различных степеней п могут |
||||||||
быть заранее |
вычислены и занесены |
в |
таблицу (см. |
приложе |
|||||
ние 4). |
|
и |
непланируемая |
xH(£) |
составля |
||||
Если планируемая xn (t) |
|||||||||
ющие входного воздействия известны, то среднеквадратическая ошибка будет определяться только параметрами системы, т. е.
|
s2(t)=f{a 0, av <z2, .... an). |
(7.48) |
Параметры |
системы в этом случае выбираются |
по критерию |
минимума |
среднеквадратической ошибки. Тогда |
оптимальные |
значения можно определить, например, приравнивая к нулю частные производные функции, стоящей в правой части уравне
ния |
(7.48): |
где |
г'=0,1, 2,..., п. |
Ю* |
147 |