Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

смещают на время At.

Если At — фиксированная

величина

(в интервале от 0 до Г), то получаем так

называемую смещен­

ную решетчатую

функцию.

Смещенная

решетчатая

функция

обозначается х[пТ,

At]

или в

относительных единицах х[п, VI,

, At

 

 

 

 

 

где /. =-у;-----относительное смещение аргумента.

 

Следует отметить, что если период квантования по време­ ни Т непрерывной функции выбран из условия неискаженного восстановления ее в соответствии с уравнением (10.1), то необ­ ходимость рассмотрения смещенных решетчатых функций отпадает.

Рассмотрим примеры определения решетчатой функции по заданной не­ прерывной функции.

1. Для непрерывной единичной функции

( 1 при t > 0;

1(0=

I 0 при /< 0

решетчатую единичную функцию найдем, положив t -пТ. Тогда д:[/(7']=1[«Т]. График этой функции показан на рис. 10.13, а.

2. Экспоненциальная решетчатая функция может быть получена из не­

прерывной функции

х (t) = еапТпутем

замены

переменной t па пТ, т. е.

,

апТ

Или,

полагая

—

t

получим

в относительных единицах

x [ n l \ — e .

t = —jr ,

х (t) — ел тi =

е ' t,

где аг =

а Т.

Тогда решетчатая функция х\/г]=ев‘ "

(рис. 10.13,6).

 

 

 

 

 

 

Если свойства непрерывной функции определяются ее про­ изводными, то свойства решетчатой функции характеризуются ее разностями, являющимися аналогами производных. Так, например, первой производной непрерывной функции, характе­ ризующей скорость ее изменения в данной точке th соответ­ ствует первая разность, характеризующая скорость изменения решетчатой функции при данном значении аргумента щ.

204

 

\[пТ)

1

-

а )

пТ

о

т 2Т ЗТ 4 Т ЪТ 6 Т

ю

Первая разность, или разность первого порядка, решетчатой функции Дх[/г] представляет собой разность между последу­ ющей (я+1)-й и данной я-й ординатами решетчатой функции

(рис. 10.14):

Ах [л] = х [п+1 ] — х[п].

(10.9)

Вторая разность, или

разность второго порядка

Д2х[л],

представляет собой разность между соответствующими

первы­

ми разностями

 

 

А2х[п} =Дх[я+ 1] — Дх[л].

(10.10)

Разность /е-ro порядка определяется соотношением

 

Акх{п] = Ак~' х[п-\-\\ —Д*- , Л'[«]

(10.11)

и является аналогом производной k -го порядка.

 

Подставив в выражение

(10.10) значения первых разностей,

получим:

 

 

А- х[п\ = \х [я + 2\—х [я+1]( —[х [/г+1] —х [«■]} =

 

= х [я-(-2]—2 х [я + 1 ]+ х [д].

(10.12)

Особенностью разностей решетчатой функции является то, что они могут быть выражены не только через значения разно­ стей низшего порядка (10.10), но и непосредственно через зна­ чения собственно решетчатой функции ^10.12).

205

П р и м е р ы.

1. Д ля

реш етчатой

функции

.v [/г]— ап первая разность равна постоянной а

(рис. 10.15):

 

 

 

Да [п] --= а [/! +1] — о [я] — ап + а — ап — а.

В торая

и высш ие

разности

равны нулю:

Д?а [я] = Да [/!+ 1] — Да [ я ] = а — а = 0.

2.

Д ля реш етчатой функции

а [ я ] —

вап первая

разность равна:

 

 

а [ л + 1]

ап

ап

а

— 1),

 

 

 

Дл- [ я ]= е

 

—е —е

(е

 

 

вторая

разность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

а |л+1] .

а

 

ап

а

 

ап

а

—I)2,

 

Д2А [ я ] = е

(е

 

— 1)— е

( е — 1)= е

{е

ft-я разность:

Д* х [я] = е п {е —1)*.

Соотношение между решетчатыми функциями и их разно­ стями различных порядков представляет собой разностное уравнение, являющееся аналогом дифференциального урав­ нения.

Р и с . 10.14

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициен­ тами, связывающее две решетчатые функции и их разности, может быть записано в виде:

ак А ку [ « ] + « ; _ , у А[п6\- +1 . . .а+\ Ду [п\+а'йу [п\ =

= 6'. А' д: [/г]+6-_, А'"1х [/г]-j- •.. Ь Ь[ Ах [п\-\-Ь'йх \п\. (10.13)

Заменяя в разностном уравнении (10.13) разности значе­ ниями решетчатой функции, получим другую, более удобную, форму записи разностного уравнения:

ак V I « + k] - 1 -ak— i у [п, - fk—1 1- I -

. . . + у и[и,-|-1 1 - 1aQу f n] =

= btx [/г-И]

x [n + i —1J + ...

+ bxx [n-\-\\-[-b0x[n\. (10.14)

206

Уравнения (10.13)

и (10.14) можно считать аналогами обще­

г о дифференциального уравнения

(2Л)

для

элементов

непре­

рывных

систем

или

разомкнутых

систем,

если

принять

ак, а/t-ь ...

, а0, bL, bi-1,..., b0— постоянными величинами; у [/г] — ре­

шетчатым выходным

 

воздействием;

х[п] — решетчатым вход­

ным воздействием.

Причем

для

автоматических систем, как

правило,

дифференциальное

уравнение

можно

рассматривать

как предельное

выражение

для

разностною

уравнения при

Т> 0.

 

разностного уравнения

можно найти с помощью

Решение

различных

методов,

аналогичных

методам

решения дифферен­

циальных уравнений. Наиболее удобным является операторный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.

Дискретные преобразования Лапласа

Переход от непрерывной функции x(t) к решетчатой х[пТ] осуществляется, как показано выше, заменой аргумента t на аргумент пТ. При использовании в решетчатых функциях х[п\

пТ

относительного аргумента п = jr- возможен переход от непре­

рывной функции x{t)

к решетчатой последовательной

заменой

, -

t

пТ

аргумен­

аргументов г - > £ =

- у

- > -jr — n или прямой заменой

та t на аргумент п.

Переход от оригинала решетчатой функции х[п] к ее изобра­

жению осуществляется при помощи дискретного

преобразова­

ния Лапласа (D-преобразования),' в соответствии

с выраже­

нием

 

 

 

 

 

х* (<7)= D

— qn

(ЮЛ5)

 

[х [//]) = £ * [//.] е

,

 

 

«=о

 

 

где

х* (q) — изображение решетчатой функции;

Лапласа;

 

D — символ дискретного преобразования

 

q— комплексный параметр дискретного

преобразо­

 

вания.

 

 

 

Легко заметить аналогию между дискретным

преобразова­

нием

(10.15) и обычным

преобразованием

Лапласа, выражен­

ным соотношением

 

 

 

 

х (/)) =

L [х (£)] = J х (t) е Р‘ dt

 

В последнем выражении интеграл с бесконечным пределом соответствует бесконечной сумме (10.15)-, непрерывная пере-

207

Смотрите также файлы