Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

необходимо при некотором фиксированном с0 определить значения

<Ж

рованном с находится методом статистических испытаний:

N

(6.5.15)

для чего рассчитываем последовательности

Xi -> Rv x<i >R<it

Xff —>RN-

Кроме того, будем предполагать, что закон распределения ве­ личин х,- (при /=1, 2 , N) гауссов с плотностью распределения

Чтобы упростить последующие расчеты, искомое уравнение ре­ грессии будем записывать так:

и считать, что для нахождения неизвестных коэффициентов а0, ai по результатам моделирования определены оценки R*(t\co),

R*(i \ci) при с0= Рс1.

Для этих условий точность расчета коэффициента

114

Проведя все необходимые преобразования, получим:

Рассмотрим несколько случаев. Для простоты положим Ro=\, что нетрудно достичь соответствующей нормировкой членов урав­ нения (6.5.17).

С л у ч а й 1. Пусть выполнены следующие условия:

Тогда для отношения дисперсий Db{cii*} и £>{0|*} справедливо

1

Из уравнения (6.5.26) нетрудно получить, что при р>0,5 ме­ тод «взвешенной» обработки позволяет найти более точную оценку для коэффициента а\.

С л у ч а й 2. Для условий

нетрудно получить

РЬ 5 (1 — р)3

D4 (1 + р)

инайти, что при (3>0,1 дисперсия D[, меньше дисперсии D.

Сл у ч а й 3. Если выполнены соотношения

Р2(1 + р)з

иэффективность применения метода «взвешенной» обработки при оценке коэффициента а\ будет гарантирована при (3>0,55.

Таю как сравнительная оценка анализируемых методов расчета коэффициентов а0, ал должна производиться при одинаковом числе статистических испытаний, то нетрудно показать, что в рассматри­ ваемом случае при использовании метода «взвешенной» обработки точность оценки коэффициента а0 получается вдвое большей.

Итак, метод «взвешенной» обработки позволяет при определен­ ных условиях реализовать более оптимальную обработку резуль­ татов статистического моделирования. Причем, область эффектив­ ного применения метода зависит от формы и параметров искомых поверхностей регрессии, а также в значительной степени опреде­ ляется характеристиками законов распределения варьируемых при статистическом моделировании параметров. Для сложных поверх­ ностей нахождение областей применимости этого метода представ­ ляет собой очень сложную и нерешенную задачу.

§6.6. ОЦЕНКА МЕТОДИЧЕСКИХ ОШИБОК МОДЕЛИРОВАНИЯ

ВПРЕДЕЛАХ ВСЕЙ ОБЛАСТИ РАССМАТРИВАЕМОГО ФАКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

При использовании результатов моделирования в целях оцен­ ки параметров и характеристик сложной системы возникает, как уже было отмечено, сложная и очень важная задача обеспечения состоятельности, несмещенности и эффективности получаемых оценок. Успешное решение этой задачи во многом зависит от вы­ бранного порядка отладки и калибровки математических моделей.

116

В связи с ограниченной возможностью проведения экспериментов на сложных системах для калибровки моделей и устранения рас­ хождений между результатами натурных экспериментов и моде­ лирования обычно в факторном пространстве назначают крайне небольшое количество точек из числа возможных. При этом, преж­ де всего, ставят задачу: провести соответствующие параметриче­ скую и структурную доработки математических моделей и в этих условиях достичь несмещенности получаемых оценок. Однако подобная калибровка математических моделей не может служить основанием для заключения об отсутствии разностной ошибки между результатами натурного эксперимента и моделирования во всей области изменения рассматриваемых факторов. Поэтому ме­ тодика оценки и учета ошибки моделирования во всей области рассматриваемого факторного пространства важна и необходима.

Положим, что методическая ошибка моделирования Лп в об­ щем случае может быть представлена в виде случайной функции, зависящей от ряда параметров с\, с%,..., с,., где щ — параметры, характеризующие влияние факторов, связанных с изменением положения выбранной точки для калибровки. Влияние всех осталь­ ных факторов, не связанных с изменением положения точки в факторном пространстве, в данном случае не рассматривается, так как оно должно быть учтено в результатах калибровки.

Функцию ДR в окрестности точки (щ*, Сг*, ..., с,.*), где проводят натурные эксперименты, можно представить степенным рядом

Дя= Дд (flO C j, С2 -j-ос2, ... , Сг-|-ОСг) =

Значения частных производных соответствуют значениям про­ изводных в выбранной точке рабочего режима, а величины bcq, 6cf... — суть небольшие отклонения параметров от их значений в точке рабочего режима.

Так как отклонения параметров лежат в небольших пределах, то рассматриваемую функцию в первом приближении принимают локально линейной и ограничиваются разложением до частных производных первого порядка. Эти значения производных пред­ ставляют собой компоненты градиента функции ДR. Характер из­ менения этих компонент позволяет судить о характере поведения ошибки моделирования в рассматриваемой области. Равенство величины градиента функции Дн нулю свидетельствует о том, что в данной точке имеет место экстремум' функции, или что рассмат­ риваемая функция по своей величине неизменна. При отличии градиента от нуля, используя метод направленного поиска, можно найти точку (в общем случае ряд точек), в которой функция Дд принимает экстремальное значение.

117

Таким образом, при исследовании характера поведения величи­ ны Ая представляется картина изменения ошибки моделирования по всей области рассматриваемого факторного пространства. Не­ пременным условием осуществления такого исследования являет­ ся возможность получения экспериментальных данных в окрест­ ностях всех точек, составляющих каждый шаг направленного поиска.

В общем случае при испытаниях сложных систем, когда воз­ можности проведения натурных экспериментов крайне ограниче­ ны, подобное решение задачи неосуществимо. Для некоторых кон­ кретных задач указанный подход может быть использован с уче­ том ряда упрощающих допущений.

Поэтому всегда ставится задача уточнить совокупность парамет­ ров сь Сг,..., с,-, оказывающих наибольшее влияние на величину ошибки моделирования. Эта задача сводится к определению вели­ чины линейных коэффициентов разложения в выражении (6.6.2) и оценке их значимости. Оценку значимости в первом приближе­ нии можно получить с помощью метода случайного баланса, ко­ торый не только позволяет произвести оценку наиболее существен­ ных параметров по результатам эксперимента, но и дает возмож­ ность определить примерное направление изменения градиента. Решение проводят в несколько этапов, на каждом из которых сна­ чала качественно выделяют существенные параметры, затем осу­ ществляют статистический анализ, обеспечивающий получение ко­ личественной меры оценки влияния рассматриваемого параметра на величину ошибки моделирования.

Для качественного выделения существенных параметров ис­ пользуют диаграммы рассеяния, представляющие гистограмму ве­ личины Ал, полученную при случайном изменении всех параметров со, за исключением одного параметра с/(, зафиксированного на определенном уровне. Если си оказывает существенное влияние на величину ошибки моделирования, то при построении гистограммы

параметра c/t на первом уровне; Д2д — центр распределения Ад при Ck на втором уровне.

Для получения оценки истинного значения центра распределе­ ния с приемлемой степенью надежности иногда можно ограничить­ ся 5-f-8 значениями Ад. Наиболее значимыми будут те парамет­ ры Ck, у которых по диаграмме рассеяния получается наибольшее смещение, если же смещения одинаковые, то те параметры, гисто­ грамма которых сдвигается наиболее сильно.

Проведенный таким образом качественный отбор позволяет исключить из рассмотрения параметры, которые можно отнести к

118