Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Вычислительная реализуемость описанной выш^ процедуры оп­ ределяется временем, которое необходимо затратить на моделиро­ вание с целью расчета производных, входящих в уравнение (6.5.1). На практике для определения указанных производных часто ис­ пользуют методы регрессионного анализа. С этой целью начальный вектор состояния системы включают в вектор параметров модели, а входной сигнал x(t) представляют в виде функционального ряда:

метрам модели, то зависимость оцениваемого показателя эффек­ тивности можно записать в виде некоторой функции:

от независимых переменных с\, 'с2, ..., сти коэффициентов «ь а2, ..., as, которые называют параметрами искомого уравнения регрессии.

Для определения оценок параметров а\, а2, ..., as обычно прово­ дят моделирование и на основании полученных результатов рассчи­ тывают значения R(t]cj) для такого набора векторов сj (/=1, 2, ..., р), который необходим для применения выбранного метода аппро­

(i= 1, 2, ..., 5) при выполнении следующих предпосылок:

а) значения Д(^|с5) (при j —1, 2..... р), полученные в результате статистического моделирования, должны представлять собой неза­ висимые, нормально распределенные случайные величины;

б) дисперсии DRj (при у = 1, 2, р), которые являются следст­

вием ограниченного числа экспериментов на модели, должны быть равны друг другу или представлять собой известную функцию от вектора с';

в) значения независимых переменных с\, с2, ..., с,- должны зада­ ваться абсолютно точно или с очень малой ошибкой по сравнению с ошибкой в расчете (R*j = R ( t |с;*).

При решении практических задач наиболее часто не выполняет­ ся первое требование. Однако и в этом случае, даже если нормаль­ ности распределения оценок Rj* -(/=1, 2, ..., р) не удается достичь ни при каком преобразовании случайных величин, методы регрес­ сионного анализа все же можно применять для расчета параметров искомых аппроксимирующих поверхностей. Но в этом случае оцен­ ки коэффициентов уравнения регрессии будут неоптимальными в том смысле, что не всю информацию извлекают из результатов ста­ тистического моделирования и свойства получаемых коэффициен­

110

тов уравнениярегрессии, особенно при малых выборках на моде­

дений у= (уи у2, ..., yv).

Элементы матрицы В и вектора у нетрудно получить из соотно­

ременных С\, с2, ..., сг линейно независима и решение системы (6.5.7) будет единственным. При этом диагональные элементы матрицы сту2 = || ВГВ||—1 определяют дисперсии ошибок расчета ко­ эффициентов регрессии, а остальные элементы характеризуют кова­ риации соответствующих им коэффициентов регрессии.

При ортогональном планировании экспериментов на модели корреляционная матрица ||ВТВ||_1 получается диагональной. По­ этому коэффициенты уравнения регрессии можно определять не­ зависимо друг от друга по простым расчетным формулам. Полное изложение методов регрессионного анализа и методов планирова­ ния экспериментов можно найти в работе [17].

Практическая реализуемость методов регрессионного анализа зависит от суммарного времени, необходимого для определения числа наиболее существенных факторов и расчета требуемого ко­ личества значений R f (/ —1, 2,..., р) .

i l l

Применительно к задачам исследования сложных систем наибо­ лее типичным случаем является полиномиальная аппроксимация истинной поверхности с помощью уравнения регрессии, которое включает в себя линейные и квадратичные члены разложения, а также учитывает все смешанные произведения факторов.

Для такого описания уравнений регрессии общее время, необ­ ходимое для расчета ряда значений Rj* (/= si, 2,..., р) при централь­ ном композиционном планировании экспериментов, определяют по формуле

делирования в значительной степени зависит от выбранного числа наиболее существенных факторов. Поэтому выбор и обоснование числа значимых параметров модели Ci (t= I, 2,..., г) должен про­ изводиться очень тщательно с привлечением всех доступных средств анализа.

Широко распространенный метод последовательного уточнения числа существенных факторов состоит в проверке необходимости дальнейшего повышения (понижения) степени искомых уравнений регрессии. Достоинством этого метода является довольно эконо­ мичное использование памяти вычислительных машин. Кроме того, он позволяет обойти трудность, связанную с априорным определе­ нием числа наиболее существенных факторов. Но метод последо­ вательного уточнения поверхностей регрессии связан с большими затратами машинного времени. Поэтому для сложных систем его удается реализовать далеко не во всех случаях. В связи с этим при анализе сложных систем большое внимание уделяют вопросам априорного определения числа наиболее существенных факторов.

Когда наиболее существенные факторы определены и метод планирования экспериментов на модели выбран, расчет коэффици­ ентов а\, а2, ..., as может быть произведен, если время для нахож­ дения значений Rj* (/=1, 2,..., р) будет допустимым. По этой при­ чине поиск и разработка эффективных вычислительных процедур определения параметров аппроксимирующих поверхностей и по сей день для сложных систем имеют чрезвычайно важное зна­ чение.

Один из возможных методов расчета необходимого числа зна­ чений Rj* (/=1, 2,..., р), который в определенной степени решает проблему вычислений, состоит в организации «взвешенной» обра­ ботки результатов статистического моделирования.

Метод взвешенной обработки результатов статистического мо­ делирования. Для определения расчетных формул метода рассмот­ рим задачу: как рассчитать, зная результаты статистического мо-

112

делироваипя

Х д ,-* /?

оценку математического ожидания выходного показателя

£ { R ( с, 0} = J /?(х) ех(оГх),

если параметры распределения вектора х имеют численные значе­ ния с, не равные с*, при котором осуществлялось моделирование.

Задача может быть решена на основании гипотезы: выборка Х \ , а'2) x'jY, полученная при фиксированном с я, принадлежит ге­ неральной совокупности выборок, которые можно получить при всевозможных значениях вектора параметров с. Считая, что эта гипотеза справедлива, можно записать следующее выражение [9]:

Полученные зависимости показывают, что для определения оценок R f (/=1, 2,..., р) необходимо реализовать процесс «взве­ шенной» обработки результатов статистического моделирования:

I

где

С;)/Х(х,1 С).).

Программная реализуемость такого метода расчета величин Rj* (/= 1, 2, ..., р) во многом зависит от принятого математическо­ го описания законов распределения вектора х. Если законы рас­ пределения гауссовы, то алгоритм расчета уд получается доста­ точно простым п его программная реализация обычно не вызыва­ ет серьезных затруднений.

Для гауссовых распределений расчетные формулы могут быть записаны в виде:

оценку метода взвешенной обработки с каким-либо другим мето­ дом построения уравнений регрессии произведем для очень про­ стого, но широко распространенного на практике случая, когда