Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

§ 6.4. ОСОБЕННОСТИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ ПРИ ОЦЕНКЕ ВЛИЯНИЯ ОГРАНИЧЕННОГО ОБЪЕМА РЕАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ТОЧНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Планирование экспериментальных работ на средствах и элемен­ тах системы осуществляется исходя из условий достижения конеч­ ной цели всего испытательного процесса при наименьших или за­ данных экономических затратах. В процессе планирования, а также после завершения испытаний большое значение имеют вопросы по определению влияния ограниченного объема реальной информации, получаемой при физических экспериментах, на точность расчета характеристик эффективности или показателей качества работо­ способности всей сложной системы. Сложность решения указанных вопросов имеет место из-за значительной разновидности экспери­ ментальных работ, чрезвычайной громоздкости расчетных формул и других факторов, обусловленных значительной разнотипностью измерительных устройств, которые привлекают для регистрации ха­ рактеристик исследуемых процессов управления.

Для широко распространенного способа задания требований на систему, когда по результатам моделирования нужно осуществить точечную оценку одного показателя эффективности, алгоритм кор­ ректировки можно получить из следующего уравнения:

ветствующее истинному значению вектора с; у — результаты экспе­ риментальных работ, организованных на элементах системы.

В более общем случае оценка влияния ограниченного объема реальной информации на точность расчета величины i?(£|c) при заданной структуре модели состоит в выводе функциональных за­ висимостей:

Анализ зависимостей (6.4.1)н-(6.4.3) показывает, что для опре­ деления величины смещения Ан * и дисперсии DR* необходимо

знать истинные значения вектора параметров с. Но по результатам физических экспериментов найти истинный вектор параметров с практически невозможно. Поэтому при анализе сложных систем оценка влияния ограниченного объема реальной информации на точность получаемых оценок состоит в решении ряда задач, связан­ ных с определением Ая * (с, у, t), DR*(c, у, i) для некоторой ожидае­

105

тор-параметров с определены, то анализ характера их изменения в исследуемой области йс позволяет охарактеризовать ожидаемые «шибки определения этих зависимостей, если за истинное значение вектор-параметров с принять его оценку с*, полученную по резуль­ татам физических экспериментов.

При анализе зависимостей (6.4. (6.4.3) могут встретиться три случая:

1. Оценка параметров модели осуществлена на основании байесового подхода; моделирование значений вектора параметров с осу­ ществляется на основании апостериорного закона распределения

*); 2. Априорных распределений р(с) нет и обработка результатов

натурных испытаний произведена на основании частных методик обработки с использованием метода максимального правдопо­ добия;

3. Часть параметров модели рассчитывают на основании най­ денных апостериорных распределений, а другие параметры опреде­ ляют из условий максимизации функции правдоподобия.

Третий случай наиболее часто встречается при анализе реаль­ ных систем и получается как комбинация двух первых случаев.

Условия оценки параметров модели, соответствующие первому случаю, позволяют записать алгоритмы корректировки и оценки точности результатов статистического моделирования с использо­ ванием известных апостериорных распределений.

Во втором случае из-за отсутствия априорных сведений найти точное распределение р(с|у, t) практически невозможно. Поэтому приходится прибегать к приближенным методам оценивания, либо

т. е. р(с)=1 при сей с, где й с — область определения вектора па­ раметров с. Некоторые особенности оценок с*, полученных при ис­ пользовании распределений р*(с|у, Л, проанализированы в рабо­ те [52].

Если распределения р*(с|у, t), р(с|у, t) определены, то после­ довательность задач, решаемых при оценке влияния ограниченного объема реальной информации на точность результатов моделиро­ вания, состоит в реализации операций:

1. Разработки модели системы и проведении на ней статист ского моделирования для некоторого набора векторов сь с2, .... ср.

Число рассчитываемых значений i?*((|ci), i= l, 2, ..., р и выбор значений векторов с2, с2, ..., ср определяются методом стохастиче­ ской аппроксимации многомерных поверхностей. Для сложных си­

.106

стем задачи исследования уравнений типа (6.4.1) -г- (6.4.3) из-за вы­ числительных трудностей могут быть решены только относительно наиболее существенных параметров системы;

Число рассчитываемых значений Дя*> D r * должно определяться в каждом конкретном случае, так как оно-зависит от степени глад­ кости функций Дя * ( с , у , t),DR* ( с , у , t) по параметру с .

Итак, полученные результаты позволяют охарактеризовать изу­ чаемые явления только при условии, что форма и все характери­ стики закона распределения р(с, у , t) точно известны, хотя и влия­ ние некоторых из них, в частности значений вектора параметров с , удается проанализировать только в некотором диапазоне его из­ менения. Однако можно предположить, что если зависимости Дя*(с, у, t), D r * (с, у, t) оказываются достаточно гладкими функ­ циями от с , то решение задач чувствительности в рассмотренной выше постановке позволит' получить практически приемлемые ре­ шения.

Пример. Пусть математическая модель описывается выражениями:

+»

R (х) = Rq + У ddlRx ^ Х(П ■

с~ т ИЛИ ал2*’

ауравнение регрессии с необходимой точностью аппроксимируется рядом:

•107

1

ских экспериментов:

п

Если априори точно известно, что тх= 0, то при s= 2 нетрудно убедиться в том, что а2=0,5 (d2R/dx2) = 0 и как результат этого

дд ,(Л) = E { R V I c * ) } - /? ( f | С) = 0.

Для тех же условий при s= 4 величину смещения оценки У?(<|с*) как функ­ цию от объема реальной информации можно охарактеризовать зависимостью

Рассмотренные задачи просты, но результаты их решения могут оказаться полезными при инженерных расчетах.

В общем случае для многомерных распределений ожидаемую величину смещения Ад* и величину дисперсии DRt нужно рассчи­ тывать для каждого фиксированного объема реальной информации по формулам (6.4.1) и (6.4.2).

108

F

§ 6.5. КОРРЕКТИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Корректировку результатов статистического моделирования сложных систем в большинстве практических случаев проводят с использованием алгоритмов, которые основаны на квадратичной аппроксимации оцениваемого показателя эффективности:

где F(z(t), t, с ) — уравнение поверхности, на которой в моменты времени U(i= 1, 2, ..., s) вектор z изменяется скачком.

Характерная особенность практически используемых алгорит­ мов корректировки заключается в том, что коэффициенты разложе­ ния обычно оцениваются не в точке, соответствующей истинному вектору параметров с, а в его оценке, полученной при обработке результатов натурных испытаний. Если такое положение допусти­ мо, то процедура корректировки результатов статистического мо­ делирования состоит в исключении из них смещения, равного

доэ