Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Если положить

^ = 1/2 Ф -1(Р),

то можно воспользоваться таблицей, в которой приведены значения Ц в зависимости от выбранной величины р (табл. 7.3.1) [40].

Т а б л и ц а 7.3.1

Таким образом, доверительная оценка для математического ожи- , Дания х будет иметь вид:

В случае, если заранее неизвестна точность измерений, но из­ вестно, что измерения равноточны, доверительная оценка математи­ ческого ожидания может быть получена по формуле

степеней свободы; р= 1—р — заданная доверительная вероятность;

В случае необходимости для получения величины г'(р, k) пр г промежуточных значениях аргумента k можно воспользоваться ли­ нейной интерполяцией.

130

При получении доверительных оценок следует учитывать, что формула (7.3.11) не может применяться, если имеет место обработ­ ка результатов наблюдений, сгруппированных в интервальный ряд. Доверительные границы при обработке интервального ряда можно приближенно оценить по правилу «трех сигма».

При неравноточных измерениях с неизвестной дисперсией а* до­ верительная оценка математического ожидания искомого парамет­ ра х может быть получена по формуле:

Sx *— эмпирическая средняя квадратическая ошибка величины х*-, k = n—1 — число степеней свободы; pi —веса измерений; Р= 1—р— доверительная вероятность (значение находят из табл. 7.3.2).

Для построения доверительной оценки среднего квадратическо­ го отклонения нормально распределенной величины можно прибег­

131

Интерполяция значений Z\ и z2допустима лишь для промежуточ­ ных значений п.

Часто встречающаяся на практике задача, связанная с оценкой вероятности по частоте, по существу представляет собой частный случай получения доверительной оценки для математического ожи­ дания. Рассматриваемая случайная величина может принимать лишь значения .х—1, если событие совершилось, и х —0, если собы­ тие не совершилось.

Если математическое ожидание величины х равно р, а диспер­ сия равна pq, где *7= 1—р, то по результатам п независимых опытов молено вычислить частоту появления рассматриваемого события, представляющую оценку искомой вероятности, т. е.

гд е ^ Xi—число появлений рассматриваемого события; п —число

/ - 1

испытаний.

Дисперсия величины р*

0[p*\={pq)\n.

Для получения доверительной оценки в виде р2{р*) <p<pi{p*) необходимо определить доверительные границы рi и р2 по форму­ лам:

Если «>100 и значения пр и nq порядка 10 и более, приведенные формулы для р1и р2 можно упростить и применять в следующем виде:

P\=p*— h Y[p*(l — p*)Vn‘>

a =/>*+*pW ( 1 - /) ] /« •

При малом числе опытов указанный подход к получению довери­ тельной оценки неприемлем, так как распределение частоты уже нельзя считать подчиненным нормальному закону. В этом случае, определяя доверительные границы, необходимо учитывать то, что частота подчиняется биномиальному распределению. Для прибли­ женной оценки доверительных интервалов на рис. 7.3.1 приведены кривые [41], определяющие область (в зависимости от числа испы­ таний « и доверительной вероятности |3) возможных значений часто­ сти р. Для нахождения верхней и нижней границы доверительного

132

интервала необходимо значение частоты р* отложить по оси абсцисс и из полученной точки провести параллельно оси ординат прямую до пересечения с кривыми, соответствующими .по параметру п числу испытаний в данном опыте. Значения ординат точек пересечения с

этими кривыми и будут верхней и нижней границей доверительного интервала.

Частным случаем задачи, связанной с получением доверительной оценки вероятности по полученной из опыта частости, является зада­ ча, когда р*=0, что свидетельствует о малости самого значения ве­ роятности. Подобные задачи могут возникнуть при о'ценке вероят­ ности безотказной работы Для высоконадежной аппаратуры. Ра­

133

Эмпирическая дисперсия для дайной выборки

надежностью Р=0,9. Чтобы, найти доверительные границы по формуле (7.3.11),

Для нахождения доверительных границ по формуле (7.3.13) при заданных величинах Р и п найдем из табл. 7.3.3 значения z t и г2. Тогда, среднее квадрати­ ческое отклонение с надежностью 0,9 заключено в интервале

0,829 ]/1 п 5 < <зх < 1,361 V l h 5 ,

2,7 < а г < 4 ,5 .

§ 7.4. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ИЗМЕРЕНИЙ ОТ РАЗЛИЧНЫХ

ИСТОЧНИКОВ

В процессе испытаний сложных систем для регистрации процес­ сов обычно привлекают большое количество разнотипной измери­ тельной техники. В связи с этим при обработке результатов наблю­ дений возникает необходимость в доказательстве возможности сов­ местного использования всех выборок при оценке показателей реальной системы. Комплекс задач, решаемых при рассмотрении по­ добных вопросов, в большинстве практических случаев сводится к задачам, связанным с определением характера распределения слу­ чайных величин в каждой выборке и с проверкой некоторой статис­ тической 'эквивалентности двух выборок.

Рассмотрим на конкретных примерах методы решения задач, возникающих при анализе качества измерений от различных источ­ ников.

Задача проверки гипотезы о равенстве средних арифметических величин. Предположим, что имеются две выборки результатов на­ блюдений над одним объектом, по которым получены оценки двух центров рассеяния измерений в виде средних арифметических вели­ чин х * и я*. Естественного, что возникает задача сравнения найден­ ных числовых характеристик с целью проверки гипотезы о равенст­ ве полученных средних величин. В случае утвердительного ответа на последний вопрос молено считать, что различие в значениях х* и z* обусловлено случайными ошибками. Если лее разность меледу

135