Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Чтобы воспользоваться указанным критерием, сначала проверим гипотезу о равенстве дисперсии сгд:2= а г2. Для этого по (7.4.4) находим

 

 

 

П

 

 

 

х

 

/=1

 

0,232;

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

z

I**1

=

+0,279

 

 

т

и далее рассчитываем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

( * , -

* • ) 2

 

 

 

 

i=l________

=

1,965;

 

 

 

( п -

1 )

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

( Z i - Z * ) 2

 

 

 

 

1=1________

=

3,476,

 

 

( т — 1 )

 

 

 

 

В рассматриваемом случае получаем:

 

 

 

F = max [ s ; / S Z,2

S*z / S2X]

= S*

j S z2 = 1,331.

Задаваясь довольно высоким уровнем значимости 2(3=0,1, по табл. 7.4.5 на­ ходим верхнее критическое значение F р+ =2,440. Так как E<EjJ"tто мет основания

считать, что дисперсии ст*2, ог2 отличны друг от друга. Далее определяем

\ х п - * т \ = ° . 5 п ;

 

 

| < |

=0,871;

 

 

/ =

10 +

10 — 2

= 18.

 

Из табл. 7.4.1 для уровня

значимости

2(3 = 0,10, соответствующего

прове­

ряемой гипотезе Н0 : Е{ х}= Е{ г) ,

находим t 2$ j =

1,734.

 

Ввиду того, что опытное значение

критерия

|<[ =0,871 получилось

меньше

^2(5,/= 1.734, то проверяемую нулевую гипотезу Но о равенстве математических ожиданий E{ x}= E{z} следует считать справедливой.

Если точно известно, что axz= a zz, вероятность отвергнуть правильную гипо­

тезу На : E{ x}= E{z}

не превосходит 2(3=0,10. Когда равенство дисперсий 0 *2= о г2

устанавливается по

тем же наблюдавшимся выборкам, то указать истинный

уровень значимости критерия < очень трудно.

Пример 2. Измерение расстояния было проведено при экспериментах. В ре­ зультате обработки первой выборки (д=16) получили хп*=855,1 км и S*2= = 12,5 км2, а по данным второй выборки (т=21) получили zm*=846,7 км и Sz2=

= 11 км2.

Проверить гипотезу о равенстве средних и эмпирических дисперсий. Подсчитаем значения S=3,4; <=2,1; f=35 и из табл. 7.4.1 найдем для Р =

= 1—2(3=0,99 (2(3= 0,01), <2р,/ =2,725. Подсчитанное значение t меньше крити­ ческого значения, что с надежностью Е=0,99 не дает основания отвергать гипо­

тезу о равенстве средних.

Значение Е-критерия будет: Е=1,12.

Пределы уклонений величии F можно найти по табл. 7.4.3, 7.4.4, 7.4.5, в ко­ торых соответственно даны доверительные границы для Е-распределения с урэв-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 7.4.3

 

 

 

 

 

 

 

Критические значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft,

 

 

 

 

 

к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

30

СО

 

1

4052

4999

5403

5625

5764

3859

5928

5981

6022

6056

6157

6209

6260

936,6

2

98,50

99,00

99,17

99,25

99,30

99,33

99,36

99,37

99,39

99,40

99,43

99,45

99,47

99,50

3

34,12

30,82

29,46

28,71

28,24

27,91

27,67

27,49

27,34

27,23

26,87

26,69

26,50

26,12

4

2 1 , 2 0

18,00

16,69

15,98

15,52

15,21

14,98

14,80

14,66

14,55

15,20

14,02

13,84

13,46

5

16,26

13,27

12,06

11,39

10,97

10,67

10,46

10,29

10,16

10,05

9,888

9,553

9,379

9,020

6

13,74

10,92

9,779

9,148

8,746

8,466

8,260

8 , 1 0 2

7,976

7,874

7,559

7,396

7,228

6,880

7

12,25

9,547

8,451

7,847

7,460

7,191

6,993

6,840

6,719

6,620

6,314

6,155

5,992

5,649

8

11,26

8,649

7,591

7,006

6,632

6,371

6,178

6,029

5,911

5,814

5,515

5,359

5,198

4,859

9

10,56

8 , 0 2 1

6,992

6,422

6,057

5,802

5,613

5,467

5,351

5,256

4,962

4,808

4,649

4,310

10

10,04

7,559

6,532

5,994

5,636

5,386

5,200

5,057

4,942

4,849

4,558

4,405

4,247

3,909

15

8,683

6,359

5,417

5,893

4,556

4,318

4,141

4,004

3,895

3,805

3,522

3,972

3,214

2 , 8 6 8

2 0

8,096

5,843

4,938

4,431

4,103

3,871

3,699

3,564

3,457

3,368

3,088

2,938

2,278

2,421

30

7,562

5,390

4,510

4,018

3,699

3,473

3,304

3,173

3,066

2,979

2,700

2,549

2,386

2,006

 

6,635

4,605

3,782

3,319

3,017

2,802

2,639

2,511

2,407

2,321

2,038

1,878

1,696

1 , 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 7.4.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критические значения F р"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к,

 

 

 

 

 

^3

1

2

3

4

5

6

7

S

9

10

15

20

30

ОО

 

1

161,45 199,50 215,71 224,58

230,16 233,99

236,77

238,88

240,54

241,88

245,95

248,01

250,09

254,33

2

18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330

19,353

19,371

19,385

19,396

19,429

19,446

19,462

19,496

3

10,128

9,552

9,277

9,117

9,013

8,941

8,887

8,845

8,812

8,785

8,703

8,660

8,617

8,526

4

7,709

6,944

6,591

6,388

6,256

6,163

6,094

6,041

5,999

5,965

5,858

5,802

5,846

5,628

5

6,608

5,786

5,409

5,192

5,050

4,950

4,876

4,818

4,772

4,335

4,619

4,558

4,496

4,365

6

5,987

5,143

4,757

4,534

4,387

4,284

4,207

4,147

4,089

4,060

3,938

3,874

3,808

3,669

7

5,591

4,737

4,347

4,120

3,971

3,866

3,787

3,326

3,677

3,636

3,511

3,444

3,376

3,230

8

5,318

4,459

4,066

3,838

3,687

3,581

3,500

3,438

3,388

3,447

3,218

3,150

3,079

3,928

9

5,117

4,256

3,863

3,633

3,482

3,374

3,293

3,230

7,179

3,137

3,006

2,936

2,864

2,707

10

4 (965

4,103

3,708

3,478

3,326

3,217

3,135

3,072

3,020

2,978

2,845

2,774

2,700

2,538

15

4,543

3,682

3,287

3,056

2,901

2,790

2,707

2,641

2,588

2,544

2,403

2,327

2,247

2,066

20

4,351

3,493

3,098

2 , 8 6 6

2,711

2,599

2,514

2,447

2,393

3,348

2,203

2,124

2,039

1,843

30

4,171

3,316

2,922

2,690

2,534

2,420

2,334

2,266

2 , 2 1 1

2,165

2,015

1,932

1,842

1,622

 

3,841

2,996

2,605

2,372

2,214

2,099

2 , 0 1 0

1,938

1,880

1,831

1 , 6 6 6

1,570

1,459

1 , 0 0 0

Т а б л и ц а 7.4.5

Критические значения F q

и1

) .

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

30

СО

1

39,864 49,500

53,593

55,833

57,241 58,204

58,906

59,439

59,858

60,195

61,220

61,740

62,265

63,328

2

8,526

9,000

9,162

9,243

9,293

9,326

9,349

9,36/

9,381

9,392

9,425

9,441

9,458

9,491

3

5,538

5,462

5,391

5,343

5,309

5,285

5,266

5,252

5,240

5,230

5,200

5,184

5,168

5,134

4

4,545

4,325

4,191

4,107

4,051

5 , 0 1 0

3,979

3,955

3,936

3,9200

3,870

3,843

3,817

3,761

5

4,060

3,780

3,619

3,520

3,453

3,405

3,368

3,339

3,316

3,297

3,238

3,207

3,174

3,105

6

3,776

3,463

3,289

3,181

3,108

3,055

3,015

2,983

2,958

2,937

2,71

2,876

2,800

2,722

7

3,589

3,257

3,074

2,960

2,883

2,827

2,785

2,752

2,725

2,703

2,632

2,595

2,556

2,471

8

3,458

3,113

2,924

2,806

2,726

2 , 6 6 8

2,624

2,589

2,561

2,538

2,464

2,425

2,383

2,293

9

3,360

3,006

2,813

2,693

2,611

2,551

2,505

2,469

2,440

2,416

2,340

2,298

2,255

2,159

10

3,285

2,924

2,323

2,605

2,522

2,461

2,414

2,377

2,347

2,323

2,244

2 , 2 0 1

2,155

2,055

15

3,073

2,695

2,489

2,361

2,273

2,208

2,158

2,118

2,086

2,059

1,972

1,924

1,873

1,755

2 0

2,975

2,589

2,380

2,249

2,158

2,091

2,040

1,999

1,965

1,937

1,845

1,794

1,738

1,607

30

2,881

2,489

2,276

2,142

2,049

1,980

1,927

1,884

1,849

1,819

1,722

1,667

1,606

1,456

 

2,705

2,303

2,084

1,945

1,847

1,774

1,717

1,630

1,631

1,599

1,487

1,421

1,342

1 , 0 0 0

нями значимости 0,01; 0,05; 0,10. Откуда однопроцентный предел уклонения вели­ чин F р-для значений /г,= 15 и йг=20 равен 3,09.

Следовательно, полученное значение 5-критерия меньше критического значе­ ния, поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу о равиоточности измерений.

Задача проверки гипотезы о тождественности законов распре­ деления двух выборок. В процессе разработки математических мо­ делей сложных систем часто анализу подвергают несколькосхем их структурного построения. Тогда при достаточно высокой стои­ мости проигрыша одной реализации не удается достичь такого объ­ ема выборок на модели, чтобы для каждого допустимого варианта ее построения -можно было бы рассчитать с требуемой точностью законы распределения оцениваемых показателей. Указанные причи­ ны приводят к тому, что заключения о статистической совместимо­ сти результатов моделирования и натурных испытаний нужно при­ нимать по выборкам ограниченного объема.

На практике указанную задачу статистической проверки гипо­ тез чаще всего рассматривают как задачу проверки адекватности законов распределения выборок, полученных при натурных испыта­ ниях X], х2, ..., хп и моделировании zj, z2, ..., zm. В процессе решения подобных задач обычно предполагают, что выборки х\, х2, хп и Z\, Zo, ..., zm независимы, а законы распределения их совокупностей /•’i(x), F2(z), из которых получены анализируемые выборки, явля­ ются непрерывными функциями от -своих аргументов х, z.

При такой интерпретации условий задачи естественно обозна­

чить множество всех пар (F\(x), F2(z)) через &,

а подмножество

пар (Fi(x),

F 2 ( z ) )

множества

для которых F\ (х) = F 2(z) , через

S'o- Тогда задачу проверки

гипотезы о тождественности распреде­

лений Fi(x) = F 2 ( z )

м о ж н о

свести к выбору критерия, состоятель­

ного

для

проверки

гипотезы

(Т1, (х) = F 2(z) ) е

относительно

любой

альтернативы

(T'i(x),

F2{z))<=&\&0, где

символ Jr |^r0

определяет множество всех пар,

для которых F{ (х) ф Р 2(г).

При проверке гипотез подобного класса широко применяют кри­ терий Смирнова, который для рассматриваемых условий состояте­ лен и использует при определении количественной меры статисти­ ческой совместимости результатов моделирования и натурных ис­

пытаний распределение статистики

 

7)/i,ib= sup | F \п(.х) F 2т(z) |,

(7.4.6)

X = Z

 

где F\n(x), F2m(z) эмпирические функции распределения, рассчи­ танные по выборкам Х\, х2, ..., хп; Z\, z2, ..., zm.

Н. В. Смирнов доказал, что вероятность появления событий Dn,m>Dp = 1/я + 1[т определяется соотношением

lim Р (D„,m > D ? = \ ? y \ j n + 1fm) = 1-

2 У ( - 1)'е_2''Ч "(7.4.7)

Л . 77I-*. зо

^

144

Смотрите также файлы