Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

л'* и 2* оказывается достаточно большой, то различие в их значе­ ниях не имеет случайного характера и свидетельствует о существен­ ном отклонении в условиях экспериментов.

Проверку гипотезы осуществляют с помощью различных крите­ риев. Для малых значений 'вероятностей |3, называемых уровнем значимости, можно определить критическую область значений кри­ териев проверки, попадание в которую означает, что гипотезу сле­

ошибки первого рода, надо выбрать достаточно малый уровень зна­ чимости р. С уменьшением значения р критическая область крите­ рия проверки сужается и вероятность отвергнуть правильную гипо­ тезу вполне естественно уменьшается. Но при этом возрастает вероятность принять неверную гипотезу за правильную, т. е. возрас­ тает вероятность допустить ошибку второго рода.

При анализе результатов моделирования важно убедиться в том,, что оценки выходных показателей, рассчитываемых с помощью ма­ тематических моделей, являются несмещенными. Практически для сложных систем такая проверка сводится к определению условий,, при которых оценки х*, z*, рассчитанные по результатам натурных испытаний хь х2, ..., хп и по результатам моделирования z h z2, ...,zm,. следует считать значимо отличными друг от друга. Конечная цель подобной проверки состоит в выработке заключения, позволяющего’ утверждать, что Е{х} фЕ{г}, если только модуль разности выбороч­ ных средних D = x*—z* — превосходит некоторую заранее рассчи­ танную границу. Для широко распространенного случая, когда вы­ борки х\, х2, ..., хп\ Zi, z2, ..., zm независимы и получены из некоторых нормальных генеральных совокупностей, проверка нулевой гипоте­ зы Н0: £{х} = £ { 2} относительно альтернативы Н\ \ Е{х}ФЕ{г) при неизвестных, но равных друг другу дисперсиях ox2 = az2, может быть проведена на основании двустороннего критерия Стыодента [39]„

[28].

Критерий Стыодента основан на распределении статистики:

S2— случайная величина, равная

( n - l) 5 » + ( w - l) s ;

(7.4.2)

п + пг — 2

S 2x = - ± - - Y . ( * , - Х п Ь

П— 1

/=1

136

т

1

Случайная величина S23имеет %2— распределение с числом сте­ пеней свободы f= n + m —2, что следует из (7.4.2), если принять во внимание, что для нормальных генеральных совокупностей D и S2 независимы соответственно, как функции среднего арифметического

Из (7.4.3) следует, что случайная величина t при условии спра­ ведливости нулевой гипотезы Hq\ Е{х} =E{z} имеет распределение Стыодента с числом степеней свободы f= n + m—2 и параметрами, которые определяются объемами выборок и полученными численны­ ми значениями xz (i= l, 2, ..., п) \ 23- (/=1, 2, ..., т).

Практическое применение критерия Стьюдента в рассматривае­ мом случае заключается в последовательном выполнении следую­ щих операций:

1.Расчет величины статистики t с использованием формулы

(7.4.3);

2.Выбор уровня значимости 2р и определение по таблицам рас­ пределения Стыодента (ом. табл. 7.4.1) соответствующих границ критической области (при определении границ нужно помнить, что число степеней свободы равно f= n + m —2);

3.Сравнение значений t с величинами t2p,f (это позволяет выра­ ботать заключение о справедливости проверяемой нулевой гипоте­

зы: нулевая гипотеза Н0 \ E{x}=E{z) справедлива, когда \t\< t 2 $,f, в противном случае, гипотеза отвергается).

Если по условиям задачи нужно убедиться в справедливости со­ отношения E {x}^E {z} (Е{х} ^ £ {z}, то нулевую гипотезу записы­ вают в виде H0:E {x}^E{z} (Н0: Е{х} ^.E{z}) и ее проверку осу­ ществляют на основании одностороннего критерия Стьюдента. В по­ следнем случае вероятность ошибочно отвергнуть правильную гипотезу не превышает р.

Задача сравнения точности измерений. Полученные в результа­ те обработки эмпирические дисперсии для двух выборок могут от­ личаться друг от друга, так как по сути они являются лишь прибли­ женными оценками. В связи с этим может возникнуть задача проверки гипотезы Н0: ax2 — &zz о равноточности измерений в рас­ сматриваемых выборках, несмотря на имеющиеся различия в эмпирических дисперсиях.

137

Доверительные границы для двустороннего критерия Стыодента представлены в табл. 7.4.1

Т а б л и ц а 7.4.1

Критические значения /2(3

2Р

Статистики Sx2, Sz2 имеют %2 — распределение с числами степе­ ней свободы, равными соответственно ki = n —l; k2 = m —1.

138

Эти результаты показывают, что для ^-критерия числа степеней свободы нужно определять по формулам

ны в виде таблиц для различных /гь k2, р. Эти таблицы позволяют по заданному уровню значимости и найденным числам степеней свободы ku k2 рассчитать правые критические точки F+ для одно­

стороннего ^-критерия. Уровень значимости одностороннего ^-кри­

дважды при альтернативах #i : ах2> о 2 и Я] : ах2< о 2, то получим двусторонний Е-критерий с уровнем значимости 2р. Так как вероят­

ности наступления событий P(F>Fp) и Р { — <С-дг = Е_) равны

гипотезу Н0: ox2 — az2 следует считать справедливой. При таком правиле проверки гипотезы Я0 вероятность ее отвергнуть, когда она

•правильная, не превышает 2р.

Пример 1 . Пусть в результате натурных испытаний и моделирования получе­ ны две выборки, относительно которых известно, что они независимы и принад­ лежат некоторым нормально распределенным генеральным совокупностям. Слу­

На основании полученных результатов опыта нужно установить справедли­ вость предположения о том, что математические ожидания генеральных совокуп­ ностей, из которых получены выборки х,-, г,-, (£= I, 2 , .. . , 1 0 ), равны между собой.

Так как априори неизвестен знак разности Е{х} — Е{г}, то проверку нулевой гипотезы H0 :E {x }= E {z ) при альтернативе Hi : Е { х } ф Е { г } ) будем производить на основании двустороннего критерия t.

139