Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Практическое 'применение критерия Смирнова заключается в последовательном выполнении следующих операций:

1. Расчет эмпирических функций распределения

Flnix),

Для определения эмпирических функций распределения F\n(x), F2m(z) необходимо упорядочить выборки Х\, Х2, ..., хп\ 2Ь Z%, ..., Zm в порядке возрастания случайных величин, т. е. получить последова­ тельности х^\ х(2), ..., х(и); 2(6, z(2), ..., 2<™>. После этого используя по­ лученные порядковые статистики х№ и 2<й (i= l, 2, ..., п, /= 1, 2, ..., т), рассчитать эмпирические функции распределения, например для выборки xi, х-2, ..., хп по формулам:

Ох < ^ х (1);

1х ' > х <-п'>\

2.Определение верхней грани Dn>m модуйя разности эмпириче­ ских функций Fyn {x), F2m(2), т. е.

оценках позволяет ограничиться первым членом разложения и ис­

Значения Dp, найденные по (7.4.12), отличаются от истинных точных значений в сторону увеличения степени доверия о статисти­ ческой совместимости результатов моделирования с результатами натурных испытаний (увеличивается надежность критерия);

4. Сравнение значений D р и Dn,m:

а) если D„,OT>D p, то гипотеза Н0 о тождественности законов распределения Fln(x), F2m{z) с доверительной вероятностью 1—2р отвергается;

б) если D„,m^D P , то гипотеза Я0справедлива.

145

Иногда, исходя из целевого назначения разрабатываемой мате­ матической модели, необходимо и достаточно проверить гипотезу Я0 о тождественности законов распределения результатов моделиро­ вания и натурных испытаний на основании односторонних критери­ ев, использующих распределения статистик:

Случайные величины D+m,n, D~m,п, если гипотеза Я0 верна, име­ ют одинаковое распределение [39].

При проверке указанных гипотез необходимо проделать те же вычисления, что и для двустороннего критерия, основанного на ста­ тистике Dm,п, с той лишь разницей, что для одностороннего крите­ рия уровень значимости при одних и тех же значениях D?=D +

равен не 2 р, а (3. Такое положение с достаточной степенью точности справедливо и для 2 р ^0,2 . Если гипотеза Я0 верна и объемы вы­ борок неограниченно увеличиваются, то

(7.4.12). Когда min [п, т]>50, то замена истинных границ на асим­ птотические для широко используемых уровней значимости р= (0,01-^0,05) приводит к увеличению надежности критерия при­ близительно на 2%, а при min [и, т ]^10 не более чем на 5%.

При практических расчетах значения статистик целесообразно

На практике зависимостью (7.4.12) пользуются при определении объема моделирования и числа натурных испытаний, необходимых для обнаружения с любым наперед заданным уровнем р значимых отклонений между функциями распределения F\{x) и F2(z). Но при такой оценке объемы планируемых выборок получают несколько завышенными.

При анализе сложных систем, когда стоимость проведения од­ ного натурного испытания очень велика, точность получаемых зна­ чений п, т по формуле (7.4.12) может оказаться недостаточной. В этих случаях для определения п, т нужно применять более точ­

146

ные соотношения, приведенные в работе [39], или находить значе­ ния п, т на основании различного рода интерполяционных формул, использующих в качестве опорных данных табличные значения ис­ тинных границ Dn<m, рассчитанных для некоторого фиксированного набора уровней значимости.

Если объемы выборок на модели и при натурных испытаниях предполагают сделать одинаковыми, что имеет место при оченл большом числе вариантов построения и большой стоимости экспе­ риментов на модели, то зависимости D+n,TO(p) и Dn<m(2(3) как функ­ ции р и п — т можно для р =^5% охарактеризовать простыми и в то же время достаточно точными соотношениями [39]:

В последнем случае истинные значения вероятностей появления событий D+n t (/e/m) и Dn<m^ (kjm) можно рассчитать на осно­ вании формул [39]:

состоятельность, которая .позволяет при неограниченном увеличе­ нии объема выборок на модели и при натурных испытаниях обна­ ружить практически любое отличие между функциями распределе­ ния Fi(x) и F2(z). Однако при больших объемах выборок нужно считаться е тем, что проверка гипотез на основании критерия Смир­ нова связана с довольно вначительным объемом вычислений, обус­ ловленным необходимостью построения вариационных радов х(|) л<->, ..., *("); zO, z<2>, ..., z<m). При использовании известных методов упорядочивания выборок хь х2, ..., хп\ zb z2, ..., zm в порядке возрас­ тания значения х%, Zj нужно выполнить количество алгоритмических операций, пропорциональное квадрату их объемов.

Можно воспользоваться также методом, предложенным в ра­ боте [42], и затратить на построение вариационного ряда время, пря­ мо пропорциональное объему исходной выборки. Если значения п и т достаточно велики, то для расчета эмпирических функций рас­

147

пределения Fln(x), F2 m(z) целесообразно использовать вычисли­ тельные машины.

Пример. На математической модели планируют провести такое же количе­ ство экспериментов, как и при натурных испытаниях на реальной системе.

при испытаниях реальной системы, имеют значения, приведенные в табл. 7.4.2. На основании указанных выборок составляем им соответствующие вариаци­

148

Используя формулы (7.4.10), рассчитываем эмпирические функции распреде­ ления Fin (x), F2m(z) (рис. 7.4.1) и находим, что в рассматриваемом случае случайная величина статистики Смирнова равна

F>1Q;10~ suP I ^ , 1 0 W —^'2>1о(г ) I — 0,3.

Рис. 7.4.1

значением-Пю;|о(2(3) =0,6 (при 2|3=0,10), получаем, что Z?io;io<^,io;io(2(3) и, сле­ довательно, гипотезу о тождественности распределения F,(x) и F2 (z) можно считать справедливой. В данном случае при выбранном критическом значении £>io;io(2|3) =0,6 истинный уровень значимости равен не 0,10, а 0,052, что непо­ средственно следует из табл. 7.4.6, в которой рядом с каждым критическим значе­ нием г (2(3) указан истинный уровень значимости, выраженный в процентах.

D+io;io((3)< 0,6 и поэтому получаем, что проверяемая гипотеза оказывается спра­ ведливой, но уже с истинным уровнем значимости, равным (ЗцСТ =0,026.

Задача проверки гипотезы о тождественности эмпирических и теоретических функций распределения.

Когда-стоимость и время проигрыша одной реализации на моде­ ли сравнительно невелики, то на модели можно получить выбор­ ку Z|, z2, ..., Zm достаточно большого объема и -по этой выборке по­ строить закон распределения F(z).

Для объемов выборок т > 1 0 000 параметры закона распределе­ ния F(z) можно считать найденными абсолютно точно. В этих ус­ ловиях, если есть необходимость в проверке гипотезы Н0 о том, что выборка результатов натурных испытаний Xi(i= 1, 2, ..., п) принад­ лежит некоторой совокупности, имеющей точно известное распре­ деление F(z), то она может быть осуществлена на основании кри­ терия Колмогорова.

Статистику Колмогорова записывают в виде:

149