Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

лирования разбить на заранее выбранное число I интервалов. При выборе числа интервалов нужно руководствоваться общим положе­ нием, чтобы в каждоминтервале было не менее пяти значений случайной величины z. Если это условие не выполняется, то целе­ сообразно скорректировать априори выбранное число разбиений / путем слияния соседних интервалов так, чтобы число попавших точек в каждый интервал было больше или равно пяти [28];

2)рассчитать оценки математического ожидания mz* и диспе

сии аг*2

т

ней свободы k = l — 3 определить с помощью таблиц ^-распределе­ ния (табл. 7.4.9) границу %р критической области;

4) сравнить найденную границу %%со значением статистики,

ределенность выбора числа и способа разбиения диапазона изме­ нения случайной величины z на интервалы. Поэтому при -малых объемах выборки к результатам проверки нужно относиться крити­ чески и рассматривать их с-учетом тех априорных сведений, кото­ рые обычно известны об изучаемых явлениях до моделирования.

В сомнительных случаях, когда %2-кр'Итерий принимает гипоте­ зу Н0 : F(z) =N {mz, о22} с невысоким уровнем значимости, а экспе­ риментатор убежден в обратном, целесообразно воспользоваться критериями, позволяющими оценить степень отклонения реального распределения от нормального. Эти критерии основаны на том, что

154

Когда статистики б*, Yi*. Рг* найдены, то с помощью таблиц, ко­ торые приведены в работе [39], нетрудно рассчитать количественные оценки, позволяющие определить, по каким нараметрам выбороч­ ное распределение наиболее сильно отличается от нормального.

Пример. Чтобы проиллюстрировать методику проверки нормальности распре­ деления результатов моделирования по некоторой выборке z u z2, , zm, примем в качестве ее элементов случайные значения х,-, которые приведены в табл. 7.2.4 (т. е. примем г ,= х i при t= 1,2, .. . , 50).

Следуя изложенной выше процедуре проверки:

1 ) определяем zmax=3,521; Zjnin= —2,526 и для 1=6 с учетом округления находим границы интервалов деления (— °о, —2], (—2 , —1], (—1 ,0], (0,1 J; (1, 2 ]; (2, + °э). Чтобы сумма вероятностей попадания в каждый интервал была равна единице, примем левой границей первого интервала — оо, а правой границей ше­ стого интервала +

2 ) находим частоты попадания случайной величины г,- в каждый интервал ( т.\=\\ т2'=Ь\ тз'=16; т 4'=18; т 5' = 8 ; пг6'= 3) Так как числа пц' и in6' мень­ ше пяти, то объединим первый интервал со вторым, а шестой интервал с пятым. Таким образом, границами уточненного разбиения интервала [zmax, zmin] будут

(—оо,—1], (—1,0], (0,1], (1, + оо), т. е. 1=4.

Для нового разбиения, получим т i=5; /7г2=16; т 3= 18; Ш4= 1 1 ;

156

3) по формулам (7.4.36) и (7.4.37) находим, что т г*= 0,21116; аг*=.1,160886

и с помощью таблицы распределения Ф(я) определяем вероятности попадания в каждый интервал (pi*=0,14917; р2* = 0,27941; р3*=0,323L7; рА* =0,24825);

считать нормально распределенной, если априори выбираемый уровень значимо­ сти меньше 0,2.

Рассчитывая значения статистик б*= 0,63233675; у;* = 0,3797265; р2*=3,6929147

и сравнивая их с критическими значениями, приведенными в табл. 7.4.10, нетруд­ но убедиться в несущественности отклонения выборочного распределения от нор­ мального по крайней мере для общего уровня значимости, равного 0,05. Для ука­ занного уровня значимости критические значения соответственно равны бр=0.0б“

= 0,8644; Yi,р-=о,05 =0,533; Рг,р=о,05 =4,01.

Задача проверки гипотезы об однородности распределения двух выборок (критерий Уилкоксона). При решении задачи, связанной с проверкой гипотезы о принадлежности двух случайных выборок одной генеральной совокупности, можно воспользоваться критери­ ем Уилкоксона, который основан на применении теории инверсий. Суть этого критерия сводится к следующему.

Пусть выборка результатов хх, х2, ..., хп статистически независи­ ма с результатами z x, z2, ..., zm. Для этих условий проверка однород­ ности распределения двух выборок состоит в проверке адекватно­ сти законов распределения fi(x), F2(z), характеризующих их гене­ ральные совокупности. Законы распределения Fx(x), F2(z) априори неизвестны. При общей альтернативе Нх :FX=£F2 решение постав­ ленной задачи может быть найдено на основании критерия Смир­ нова, если для каждой выборки рассчитать эмпирические функции распределения. В частных случаях процедуры расчета эмпирических функций распределения можно избежать, воспользовавшись при проверке гипотезы Н0: Fх(х) =F2(z) порядковым критерием, каким и является критерий Уилкоксона. Состоятельность критерия Уил­ коксона доказана, когда в качестве альтернативы выступает одно­ сторонняя гипотеза о том, что величины х* стохастически больше или меньше величин Zj. Чтобы воспользоваться критерием Уилкаксойа, нужно:

1) построить общий вариационный ряд в порядке совместного возрастания случайных величин х*, z, (при i=l, 2, .... п; /= 1, 2,

. . . . т ) ;

2) определить число инверсий. Количество инверсий для данно­ го Xi определяется как число тех Zj, которые удовлетворяют усло­ вию Xi>Zj. Если для каждой пары наблюдений хг-, Zi определить функцию уц

(1, если x ^ z f ,

(7.4.41)

(О, если х х<

Г57