Файл: Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика.pdf

Сформулируем два основных требования,'которым дол­ жен отвечать метод топологических преобразований:

1)процесс преобразования фигуры Ф в Ф должен быть таким, чтобы его выполнение возможно было осуществить на ЭЦВМ без участия человека;

2)в результате преобразования фигуры Ф мы должны получить такой вид фигуры Ф, который позволит ЭЦВМ решить задачу, используя только стандартные операторы.

Рис. 63

Сущность метода может быть понятна из чертежа (рис. 63), на котором показаны геометрические построе­

и Р'. Связь между точками пространства R и R осуще­ ствляется с помощью двух взаимно соответствующих пло­ скостей преломления а и а и двух пучков лучей. Чтобы определить положение точки А пространства R, однозначно

Пересечение этих прямых определит положение фронталь-

95

ной проекции (Л2 ) точки А пространства R. Чтобы найти горизонтальную проекцию точки А, достаточно опре­

Расстояние между точками А2, В2 и С2 больше, чем между точками А2, В2 и С 2 , так как пространство R пре­ образовано в R путем деформации растяжения. Используя в качестве преобразующих поверхностей преломления плоскости, мы предрешаем деформацию (растяжения или сжатия), равномерную по всему объему пространства. Чтобы преобразовать криволинейные фигуры (линии и поверхности) в прямолинейные, необходимо иметь хотя бы одну из поверхностей преломления криволинейной. Это обеспечит неравномерную деформацию пространства.

Отметим одну особенность метода топологического пре­ образования. Когда мы преобразуем фигуру Ф с помощью какого-либо проекционного метода, то нам известен ап­ парат преобразования, позволяющий в конечном итоге получить преобразованный вид фигуры Ф, который до этого был не известен. Осуществляя топологические пре­ образования, мы заранее знаем (точнее, хотим знать) вид преобразованной фигуры Ф, а неизвестным оказывается аппарат преобразования, который должен обеспечить по­ лучение Ф заданного вида и размера. Поэтому задачу, решаемую методом топологических преобразований, сле­ дует формулировать иначе, придавая ей следующий вид: какой характер должна иметь поверхность преломления, если известен вид преобразованной фигуры?

Метод топологического преобразования достаточно по­ дробно освещен в работах Н. А. Малахова, И. М. Халдеева и автора [6], [7]. В настоящей работе рассматривается только преобразование плоской кривой линии в прямую, проецирующую с помощью двух взаимно соответствующих поверхностей преломления, из которых одна — кониче­ ская, другая — плоская. Для преобразования кривой ABC во фронтально-проецирующую прямую (рис. 64) в про­ странстве R, в котором расположена кривая, строим ко­ ническую поверхность.

За направляющую этой поверхности принимаем кри­ вую MNL, подобную и подобно расположенную заданной кривой ABC. Вершину конической поверхности 5 можно

96

взять в произвольной точке. В нашем случае точка S взята на плоскости П1. За поверхность отражения в про­ странстве R принимаем фронтально-проецирующую пло­ скость а *. Положение следа а 2 можно брать произвольно, лишь бы он пересекал ось х12. Далее, как и в предыдущем примере, с помощью двух семейств лучей: одного парал­

верхности в проецирующую цилиндрическую. Построения

зованное пространство вправо, чтобы не затруднять чте­ ния чертежа наложением новых преобразованных про­ екций на старые — исходные. Вопрос наглядности чертежа для машины не имеет никакого значения. Поэтому можно не делать такого смещения, а преобразовывать простран­ ство «само в себя». Такое преобразование будет более оправданным, так как топология предусматривает дефор­ мацию пространства, а не перенос его в новое положение. Если угол наклона плоскости преломления сг к плоскости проекции П1 равен углу наклона к этой же плоскости крайней очерковой образующей конической поверхности

* Границы пространства R и R на чертеже не указаны.

(рис. 65), то направляющая преобразованной цилиндри­ ческой поверхности будет конгруэнтна фронтальной про­ екции очерка преобразуемой поверхности. В связи с этим, преобразовывая пространство «само в себя», мы имеем возможность рассматривать заданную (исходную) фрон­ тальную проекцию очерка поверхности как фронтальную проекцию проецирующей цилиндрической поверхности, в которую преобразуется исходная поверхность.

Топологические преобразования оказываются удоб­ ными для машинного решения задач, в которых требуется определить точки встречи произвольной линии с криво­ линейной поверхностью.

Для решения таких задач рекомендуется:

1) преобразовать заданную поверхность в проецирую­ щую — цилиндрическую;

2)по этому же закону преобразовать линию;

3)найти точки пересечения проекции линии и поверх­

наклона плоскости преломления, можно преобразовать криволинейную поверхность в проецирующую — ци­ линдрическую, направляющая которой совпадает с про­ екцией очерковой образующей исходной поверхности. Поэтому выполнение первого пункта автоматически удов-

98

летворяется исходными данными задачи. Окончательно

сзаданной проекцией очерка криволинейной поверхности;

3)на фронтальной проекции исходной кривой опре­ делить точки со значением ординат, равным ординатам точек, полученных в результате выполнения п. 2;

4)по фронтальным проекциям точек найти горизон­ тальные проекции.

Выполнение п. 2, 3 и 4 может быть легко осуществлено

торов решим задачу по нахождению точек встречи произ­ вольной кривой / с поверхностью эллиптического парабо­ лоида и установим, какие геометрические построения не­ обходимо выполнить для определения вида кривой после преобразования (рис. 66). Чтобыпреобразовать поверх­ ность эллиптического параболоида в проецирующую ци­ линдрическую, нужно иметь в качестве поверхностей от­ ражения (преломления) коническую поверхность, за на­ правляющую которой принимаем горизонтальный след эллиптического параболоида с вершиной в точке S и фронтально-проецирующую плоскость ст, след которой совпадает с крайней левой образующей конической по­ верхности B2S2. Поэтому первым шагом для решения по­ ставленной задачи является определение на образе 1 точки В2 — фронтальной проекции горизонтального следа кривой /. Эта операция выполняется с помощью стан­ дартных операторов X, I , V. Затем проводим прямую B2S2 (оператор /) . Дальнейшие построения выполняются в сле­ дующей последовательности: через точки Ацц (первая из записанных в б-массиве образа 6) и Sx проводим пря­ мую А\ (1) Si (оператор / ) ; находим точку С\ (i> в месте пере­