Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1

dp

dg

1

dp

<5g

дает: ----- — =

g-Z- ;

------— =

g ——; так что, исполь-

p

dx

dx

p

dy

dy

зуя квазигеострофическое приближение, получим

£

д

52

52

 

 

 

 

f

 

5х2

ду2

‘

Отсюда и из (2.1.4) и (2.1.5) для дивергентной волны Рос-

сби, распространяющейся

в направлении волнового

вектора

k = (kx, kv) — {k cos a,

&sina), получим обобщение

диспер­

сионного уравнения (2.1.3):

 

 

 

/3

 

с " е

— =

Р + Я—

 

£/------------(2.1.7)

 

 

ьх

/2

 

где k2 = k2x+k2y, со — круговая частота колебаний. При выво­ де (2.1.7), как и при выводе уравнения неразрывности, пред­

положено, что для основного течения

U имеет место соотно­

шение геострофического баланса:

 

 

fU =

— g -^ - = const.

(2.1.8)

 

dy

 

 

Когда основное течение

отсутствует:

17 = 0, так

что L = d/dt

и свободная поверхность в невозмущенном состоянии гори­

зонтальна, то вместо формул

(2.1.3) и (2.1.7) получим:

с ' =

ft2

со' = — k2

( 2 . 1 . 9')

с" =

р

 

со" =

Я ХЯ2

fe2+

/2/gtf

 

k2 + f2!g'

 

 

 

я х + я 2

 

 

 

 

( 2 . 1. 10)

Используя ту же технику малых возмущений, легко полу­ чить формулы, аналогичные (2.1.10) для двуслойной бароклинной модели, в которой плотности и глубины нижнего и верхнего слоев равны соответственно р2 и рь # 2 и # ь а сво­ бодная поверхность неподвижна:

си/

Р_____

со"

Р*х

 

Яхя 2

 

ЯХЯ2

k * + f l g '

Нг+Н,

 

k*+fVg' Ях + Я2

Здесь g' = g P2 — Pi

 

 

+ Я2) = D — «приведенная

глу-

бина»,

p

средняя

плотность.

При

Н1 =

Я2,

очевидно,

D

Hr

— , где

Я — полная

глубина

океана. Поскольку в

 

2

4

 

Р 2 ~ Pi

1

вторые

члены

в знаменателях

реальных

условиях

формул (2.1.11)

намного больше соответствующих членов в фор-

мулах (2.1.10).

Очевидно, величины VgH„ 0.. ~и

0g'

Н 1Нг

чис-

 

 

 

 

 

 

 

у

Нг-\-Н2

 

ленно равны скоростям лагранжевых длинных волн на свобод­ ной поверхности и поверхности раздела соответственно (при от­ сутствии вращения Земли). Поэтому если ввести обозначения

*01 /2№

ko2 = /2

Hi + Ht

то величины Ь01 = 2л L,'02 _

 

 

koi

2 л

=—— могут быть формально интерпретированы как длины «02

поверхностных и внутренних гравитационных волн, имеющих инерционную частоту. Разумеется, с физической точки зрения формулы (2.1.10) и (2.1.1) не имеют никакого

отношения

к гравитационным

волнам

(напротив, при

выводе

этих

формул эти волны

были отфильтрованы). На

самом

деле,

вторые члены в знаменателях

этих формул

характеризуют роль горизонтальной дивергенции, вертикаль­ ной стратификации и, в конечном счете, вертикальных дви­ жений, в динамике градиентно-вихревых волн. Заметим, что параметр, аналогичный &02, будет играть важную роль при исследовании бароклинной неустойчивости.

Рассмотрим теперь простейшую непрерывно-стратифици­ рованную модель. Для того, чтобы более четко выяснить смысл проблемы отфильтрования, мы не будем использовать квазигеострофическое приближение, а получим общее дис­ персионное уравнение, содержащее одновременно градиентно­ вихревые и внутренние гравитационные волны. Пусть имеется

устойчиво стратифицированный по вертикали и однород­ ный по горизонтали слой жидкости толщиной Я = const, дви­ жущийся в зональном направлении с постоянной невозму­ щенной скоростью. Уравнения движения для малых, возму­ щений после линеаризации будут иметь вид:

Lu —fv = — 1

dp

 

 

( 2. 1. 12)

Ро

дх

’

 

Ро ду

ди

 

до

CW

(2.1.13)

дх

 

ду

dz

 

Lo

 

dp.— w — 0;

(2.1.14)

 

 

dz

 

 

47

 

 

dp

(2.1.15)

 

 

dz

 

 

*

Здесь

po= po(z)— невозмущенное распределение плот­

ности,

- ^ - < 0

(стратификация

устойчива). Возмущения

 

dz

 

 

плотности р и давления р удовлетворяют условию гидро­ статики, так же как и соответствующие величины в невозму­ щенном состоянии (gpo= dpjdz, где р — невозмущенное давление).

Уравнения движения (2.1.12) и уравнение неразрывности дают уравнение вихря:

+ ро — / — = 0.

(2.1.16)

\ дх

dy I

dz

Предполагая в дальнейшем для сокращения выкладок не­ зависимость задачи от у, выразим с помощью уравнений дви­ жения v через Р:

 

 

 

(L2 + f2)v = —

дх

 

 

(2.1.17)

 

 

 

 

 

 

Ро

 

 

 

Используя

уравнение

гидростатики

(2.1.15)

и

исключая

затем р с помощью (2.1.14), получим вместо (2.1.17):

 

 

L(L2 + /2) —

= J - ^Ss .fJSL .

 

 

(2.1.18)

 

 

 

 

dz

 

р0

dz

dx

 

 

 

Дифференцируя

(2.1.16)

по z,

умножая

на

оператор

L(L2+f2)

с учетом

(2.1.18),

получим

уравнение

для w.

 

LN2—

+ L (L2-)- /2)

д2ш

$N2 dw

=

0.

(2.1.19)

 

 

дх2

 

 

 

дг2

 

~д7

 

 

 

Здесь введено обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2(z)

 

= — -£■

 

 

 

(2.1.20)

 

 

 

 

W

 

Ро

dz

 

 

’

Будем считать N2 —const, что эквивалентно экспоненциаль­

ному изменению невозмущенной плотности с

глубиной.

Практически

N2 будет

постоянным,

 

когда

р0

с глубиной

меняется линейно, так как

изменениями ро

в знаменателе

(2.1.20) можно пренебречь. Если дно

(z=0)

горизонтально и

свободная

поверхность океана

(z = H) горизонтальна и не­

подвижна,

то w(0) =w(H)

 

и собственнымифункциями

(2.1.19) будут,

очевидно,

 

Н71

 

арешение

(2.1.19)

sin—^-z,

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

можно представить в виде элементарной волны:

 

 

 

 

w = w

S

i n

-------- z e ik{x—ct)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

48

Тогда, обозначая

 

N2H

 

(П= 1, 2, 3,

...),

( 2. 1. 21)

 

gti

 

 

я2я 2

 

 

 

 

и замечая, что -2— = •— с

;

—— = ik:

L = ik Ш — с),

 

dt

дх

дх

 

 

получим вместо (2.1.19) дисперсионное уравнение:

 

(c - U )

к2 g 'n H —• (с — (У) {c— U f — к2

0.

 

 

 

 

 

(2.1.22)

Представляет интерес получить аналогичное уравнение для дивергентной баротропной-модели, в которой на свобод­ ной поверхности выполняется линеаризированное условие:

=

+

dy

= L l + v — . (2.1.23)

dt

дх

ду

Выпишем для этого систему линеаризированных уравне­ ний, аналогичную уравнениям (2.1.12) —(2.1.15):

II .а« 1

Ъд I

 

L v + fu = — g -J -.

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

Ы + v — + Н ( - ^ +

ду )

= 0 ;

 

dy

\

дх

 

 

f u =

-

dH

 

 

 

§ ~ г -

 

 

 

 

 

dy

 

 

(2.1.24)

(2.1.25)

(2.1.26)

Уравнение гидростатики здесь уже использовано при за­ мене Р через | в правых частях (2.1.24). Предполагая, как и выше, независимость от у, составляя уравнение вихря и исключая горизонтальную дивергенцию с помощью уравне­ ния неразрывности (2.1.25), получим:

 

I i L +

Pt,_ _ L

- у - о ) = 0 .

(2.1.27)

 

дх

 

 

Н

 

 

 

 

Исключая

отсюда

£,

получим дисперсионное

уравнение,

аналогичное

(2.1.22):

 

 

 

 

 

 

( c - U ) +

JL

gH

— (с — U)

(с — u f —

J L

 

/2

&

-j—-—и = 0.

 

 

 

 

 

k2

 

к?

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1.28)

Рассмотрим приближенные

значения корней этого кубич-

•

 

 

 

 

/2

Тогда

(2.1.28), по­

ного уравнения. Пусть

(с — £/)2<С — .

лучим:

4 Б. А. Тареев

49

Смотрите также файлы