Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Если для вычисления w, как и в предыдущем случае, вос­ пользоваться уравнением

в решении необходимо считать отличными от нуля все шесть произвольных постоянных. Однако, как показывают предыду­ щие вычисления, выражение (1.5.7) для F можно упростить, положив Л = 0. Это приводит к относительной ошибке, мень­ шей 1% в определении Rc. Поэтому при вычислениях доста­ точно ограничиться использованием одного вариационного параметра а (учет А находится за пределами точности графи­ ческого представления результатов на рис. 2а). Тогда общий интеграл (1.5.14) можно записать в виде:

зз

систему для Aj, Bf.

3

V B , ch-3L = 0,

1 2

/=i

36

3

;=i

3 3

(1.5.18)

Определяя отсюда Aj, Bi и подставляя результат в (1.5.17), получим:

Aj нужны только в промежуточных вычислениях для опреде­ ления Bj из (1.5.18). Сами Aj не входят в выражение (1.5.17) ввиду четности пробной функции F. В (1.5.19) использованы следующие обозначения:

37

Здесь 6 i— определитель системы (1.5.18), остальные обозна­ чения использовались выше.

Путем вычисления min R (а) при фиксированном числе Тэйлора Q была построена кривая 2 RC=RC(Q) на рис. 4. Эта кривая занимает промежуточное положение по отношению к кривым 1 (прилипание) и 2 (свободные границы). При Q>105 различие в граничных условиях практически перестает'сказы­ ваться. Существенной особенностью случая смешанных гра­ ничных условий является монотонное убывание горизонталь­ ных размеров конвекционных ячеек (возрастание горизон­ тального волнового числа а) с увеличением Q (кривая 2а на рис. 4). Поскольку меридиональное волновое число, как ука­ зывалось выше, должно соответствовать фактической протя­ женности конвективного слоя вдоль меридиана, увеличение а с ростом Q соответствует увеличению зонального волнового числа конвективных ячеек. Как видно из рис. 4, при малых числах Тэйлора (до Q ~103) прилипание на границах оказы­ вает стабилизирующее действие (как и в классическом случае Q = 0), однако при больших Q ~ (103—104) кривые, соответст­

вующие смешанным граничным условиям и свободным грани­ цам, поднимаются вверх несколько круче кривой 1 (жесткие границы), так что при IgQ 5*3,5 порог устойчивости дости­ гается снизу сначала для кривой 1 (прилипание), затем для

соответствует случаю свободных границ, однако порог устой­ чивости достигается снизу ранее всего для случая смешанных граничных условий (у Чандрасекхара Т= ?2г№/у, где fi — вертикальная компонента параметра Кориолиса). При Q> 105 кривые Rc=Rc(Q) в логарифмическом масштабе практически

сливаются в одну кривую, т. е. значения Rc практически пере­ стают зависеть от использовавшихся граничных условий.

Случай свободных границ, наиболее простой в вычисли­ тельном отношении, был также исследован с помощью вариа­ ционного метода. Представляло интерес сравнить результаты

существенно упрощаются ввиду симметрии граничных усло­ вий, и выражение для R принимает, в конце концов, следую­ щий вид:

38

(Пробная функция F (z) в (1.5.7) была взята при Л = 0.) Здесь

S2 = qxth — 2 -f 21, остальные обозначения прежние.

2

На рис. 4а показаны кривые RC=RC(Q). Кривая 1 соответ­ ствует Rc, вычисленному по формуле (1.5.21), кривая 2 полу­ чена в § 1.3 при использовании приближенного граничного

условия D4w = 0 при г = + . Как видно, отличие кривых

•друг от друга невелико и соответствует ограниченному диапа­

что в рассмотренных конвекционных задачах этот метод осо­ бенно эффективен в смысле точности. Это связано с тем, что в соответствии с принципом Рэлея задача конвекции являет­ ся сама по себе в некотором смысле экстремальной задачей и, кроме того, в процессе решения примерно «три четверти»

уравнений интегрируются точно.

Заметим, в заключение, что хотя во все наши формулы входит потенциальная температура, поток тепла, связанный с молекулярной теплопроводностью, определяется градиен­ том фактической (а не потенциальной) температуры. Поэто­ му если жидкость, находящаяся в поле тяжести, приходит с течением времени к тепловому равновесию, то это соответ­

39