Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

уравнение (2.2.16) примет вид:

(2.2.17)

X. Л. Куо (Кио, 1949) провел детальный анализ этого уравнения при «кажущемся отсутствии» сил вязкости (v-»-0) применительно к исследованию устойчивости западно-восточ­ ного переноса в свободной атмосфере. (Это случай так назы­ ваемой баротропной неустойчивости, когда кинетическая энер­ гия возмущений заимствуется из кинетической энергии сред­ него движения). Было показано, что необходимым условием для неустойчивости является обращение в нуль (и перемена знака) градиента абсолютного вихря Zy= f i—Uyy в какойлибо точке на профиле скорости. Это прямое обобщение из­ вестного результата Рэлея (Rayleigh, 1880), который показал, что профили скоростей в двумерном течении идеальной жид­ кости, имеющие точку перегиба, неустойчивы. Если в урав­ нении (2.2.17) положить v-Л), то получим:

(2.2.18)

Легко видеть, что уравнения (2.2.17) и (2.2.18) совпада­ ют по форме соответственно с уравнениями Орра—Зоммер- фельда и уравнением 'Рэлея (см., например, Lin, 1958), в ко­ торых только кривизна профиля скорости Uyy заменена гра­ диентом абсолютного вихря р—Uyv. Поскольку с физической точки зрения интерес представляют комплексные С, физиче­

ское распределение скоростей U— U(y) в общем случае сле­ дует считать аналитически продолженным в комплексную у- плоскость. Существенным отличием задачи на собственные значения для уравнения (2.2.18) от традиционных задач яв­ ляется то, что это уравнение имеет особую точку U—с = 0 внутри области определения решения (а не в граничных точ­

то из теории дифференциальных уравнений следует (см., на­ пример, Morse, Feshbach, 1958, т. 1), что одно из двух реше­ ний уравнения (2.2.18) имеет в этой точке логарифмическую особенность, являющуюся одновременно точкой ветвления. Выбор правильного пути обхода особой точки в комплексной ^-плоскости и нужной ветви решения следует из того факта, что решения (2.2.18), имеющие физический смысл, должны совпадать с асимптотическими решениями при v-Я) уравне­

64

ния- (2.2.17), которое, очевидно, регулярно. Рецептура нахож­ дения таких решений с «кажущимся отсутствием» вязкости была разработана рядом авторов и в особенности Линем (1958). Другой сложный вопрос связан с возможностью не­ полноты системы собственных функций для сингулярных уравнений типа (2.2.18). В этом случае очевидно, что произ­ вольное начальное возмущение не может быть представлено неполной системой собственных функций. В этом одна из слабостей метода элементарных волновых решений. Тем не менее некоторые авторы, в частности Л. А. Дикий (1960, 1965), строго показали справедливость некоторых классиче­ ских результатов, полученных ранее методом элементарных волновых решений, рассмотрев задачу устойчивости как за­ дачу с начальными данными, путем использования односто­ роннего преобразования Лапласа по времени и исследования асимптотических решений при t-*-оо. Мы не будем подробнее останавливаться на сложных математических вопросах тео­ рии гидродинамической устойчивости (в которых автор к тому же не является специалистом), а используем в дальней­ шем приближенные методы, которые дают достаточно хоро­ шее для наших целей приближение.

Возвращаясь к «вязкому» уравнению (2.2.17), заметим, что если основное течение (и возмущения) не зависит также и от у, то Zy=fi = const и вместо (2.2.17) получаем:

Определяя отсюда с, можем записать решение соответствую­ щего дифференциального уравнения:

сти (Cj= —v&<0). В стационарном случае с = с г=Сг — 0 ха­ рактеристическое уравнение показывает, что k должно быть комплексным и должно удовлетворять уравнению:

Такое же соотношение было получено Д, Муром (Moore, 1963) 1 как следствие одного частного решения нелинейного дифференциального уравнения в модели меандров Гольфстри­ ма, рассматриваемых как стационарные волны Россби, на­ ложенные на западно-восточный поток и затухающие вниз

1 Подстановка — ik-a переводит (2.2.21) в уравнение (3.3) цити­ руемой работы Мура.

по течению. Подобные решения были также получены в не­ линейной модели баротропной циркуляции в прямоугольном океане на |3-плоскости А. М. Ильиным и В. М. Каменковичем (1963). Точное совпадение частных результатов линейного приближения, на основе которого мы получили (2.2.21), и не­ линейной модели не случайно. Дело в том, что если основное течение не зависит от горизонтальных координат (но может зависеть от глубины z), а возмущения имеют вид элементар­ ной ‘«монохроматической» волны, наложенной на основной по­ ток, то нелинейные члены в точности компенсируют друг дру­ га, если уже принято квазигеострофическое приближение.

Чтобы показать это, заметим, что если основное течение и поле возмущений не зависят от поперечной координаты у,

выражающие горизонтальную адвекцию вихря: u£lx~\~vQv, бу­

где U(z) считается известным, то, очевидно, нелинейные про­ изведения компонент возмущений в точности уравновешивают друг друга.

Нелинейное уравнение сохранения плотности, в котором линеаризирован только член w dpo , выражающий верти­

кальную адвекцию плотности

J L + £/^Р- . VJ£- + W ^ L ,

dt dx dy dz

с учетом уравнения гидростатики (2.2.7) и (2.2.3), а также геострофических соотношений для и, v может быть записано в виде:

/Ро

где

Из этого уравнения также видно, что если поле давления имеет вид, соответствующий в геострофическом приближении полю скоростей (2.2.22), то нелинейные члены, входящие в якобиан, также взаимно компенсируются. Таким образом, эта компенсация имеет место не только для чисто горизонтально­ го бездивергентного течения, но и для рассмотренного про­ стого случая дивергентного бароклинного квазигеострофичес­

66

кого движения. Этот факт, который, по-видимому, впервые был замечен в метеорологии (см., например, Кио, 1953), мо­ жет иметь своим следствием то, что квазигеострофические волновые возмущения при определенных условиях могут до­ стигать значительных амплитуд, не разрушаясь и не меняя существенно своего вида, за счетнелинейных взаимодействий между различными компонентами спектра. Однако посколь­ ку начальные возмущения представляют собой, по-видимому, волновые пакеты, полученные суперпозицией большого числа простых гармонических волн вида (2.2.22), последовательное построение линейной теории может быть проведено только ценой отбрасывания нелинейных членов, которые в общем слу­ чае, конечно, не компенсируют друг друга.

Существование стационарных волн (меандров), соответ­ ствующих уравнению (2.2.21), наложенных на основной по­ ток и затухающих вниз по течению, не подтверждается на­ блюдениями по крайней мере в районе Гольфстрима. Напро­ тив, теперь уже можно считать достаточно четко установлен­ ным фактом (Стоммел, 1963), что меандры в Гольфстриме имеют нестационарный характер, но движутся с запада на во­ сток со скоростью, значительно меньшей скорости течения на поверхности. Амплитуда этих меандров от мыса Гаттерас, там, где Гольфстрим отходит от материкового шельфа в от­ крытый океан, растет по мере их распространения в восточ­ ном направлении. Примерно после 60° з. д. меандры вырож­ даются в вихри, отдельные струи и вся картина течения при­ обретает весьма сложный и нерегулярный характер. Тем не менее осреднение этой картины по пространству и по большим промежуткам времени порядка нескольких месяцев или лет может дать картину затухающих вниз по течению меандров, соответствующую уравнению (2.2.21).

Таким образом, эта картина относится к некоторому «кли­ матологически среднему» Гольфстриму, как это замечает Г. Стоммел (1963, стр. 127—129). Напротив, наша ближай­ шая цель — дать «синоптическое» (конечно, сильно схематизи­ рованное) описание неустановившихся волновых возмущений в океанских течениях, и в частности в Гольфстриме, возра­ стающих по мере их распространения за счет механизма бароклинной неустойчивости.

Поскольку основными уравнениями, используемыми нами в дальнейшем, будут уравнение. (2.2.14) (или эквивалентное ему (2.2.23))-, а также уравнение вихря (2.2.10), перепишем последнее, предполагая в дальнейшем независимость от попе­ речной координаты у. При этом предположении Й = У Х. Вы­ ражая V в (2.2.10) через геострофическое соотношение (2.2.13), используя волновое представление (2.2.1) и выражая

горизонтальную дивергенцию через dw/dz, после простых пре­ образований вместо (2.2.10) получим:

Здесь U— U(z) — известная скорость основного геострофического течения, черточки у амплитуд волновых возмущений v(z) и w(z) опущены. Это уравнение вместе е (2.2.14), ко­ торое мы еще раз перепишем здесь:

при соответствующих граничных условиях образует систему для определения v(z) и w(z). Компонента скорости и может быть определена из уравнения неразрывности.

§ 2.3. Приближенное рассмотрение задачи

Чтобы избежать решения задачи на соб­ ственные значения, связанного, как уже говорилось, с рас­ смотрением сложных и тонких математических вопросов, ис­ пользуем приближенный подход и постараемся выразить ха­ рактеристические параметры устойчивости через осредненные элементы основного движения. Если в первом приближении

Здесь А — постоянная интегрирования.

Предположим, что основное течение занимает слой конеч­

океана, если течение распространяется до дна, или нулевая поверхность, которая в частном случае может совпадать. с нижней границей главного термоклина. Интегрируя уравне­ ние (2.3.2) по толщине этого слоя, мы можем выразить по­ стоянную интегрирования через элементы среднего движения

68

Интегрируя уравнение вихря (2.2.24) от 2 = 0 до z = H и деля результат на Я (сначала пренебрежем горизонтальной вяз­ костью, т. е. положим %'= 0), получим:

Чтобы исключить внешний приток энергии, предположим, что на границах слоя тангенциальные напряжения отсутству­ ют, т. е. vz(H )= v z(0 )= 0 . Если предположить также, что вертикальные смещения отсутствуют на нижней границе, то можно написать w (0) = w (Я) = 0 . Условие w(H) достаточно очевидно, так как оно исключает баротропные волны, практи­ чески не меняя вида бароклинной компоненты движения.

Таким образом, правая часть (2.3.5) обращается в нуль. Первый член левой части (2.3.5) с учетом соотношения (2.3.4) может быть переписан в виде:

ля, мы можем сократить на нее (2.3.7) и после простых пре­

69