Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Если обозначить максимальное значение скорости основ­

ного течения через Um, то, очевидно, всегда (U)2s^U2^ . U 2m. Знак равенства имеет место в случае [/=const. Тогда из (2.3.9) следует C\ = U, Cr= U —|3//г2, т. е. неустойчивости нет, а имеются две нейтральные волны, одна из которых распро­ страняется со скоростью основного течения, а вторая пред­ ставляет собой простую баротропную бездивергентную волну Россби (2.1.3). Этот результат является естественным след­ ствием наших предположений, так как, во-первых, мы прене­ брегли вертикальной стратификацией в (2.2.14), а во-вторых, предположение U = const, соответствующее отсутствию верти­ кального градиента скорости основного течения \ как это сле­ дует из соотношения геострофичности (2.2.4), эквивалентно отсутствию поперечного к основному течению наклона изопикнических поверхностей. Поскольку этот наклон является един­ ственным источником энергии для возникновения бароклинной неустойчивости, корни уравнения (2.3.9) при U=const всегда действительны.

Из формулы (2.3.9) также видно, что |3-эффект оказывает стабилизирующее действие на поведение крупномасштабных возмущений. С другой стороны, наличие противотечений в основном движении, приводящее к убыванию (U)2 и соответ­

ственно возрастанию отношения U2/(U)2, как это видно из формулы (2.3.9), способствует возникновению неустойчивости. Таким образом, наличие геострофически сбалансированных изменений с глубиной в знаке вертикального сдвига скорости, выражающееся в изменении знака наклона изопикн на гид­ рологическом разрезе, перпендикулярном к течению, может служить качественным критерием возможности возникнове­ ния меандров и вихрей в данном районе океана.

Если предположить, что профиль скорости близок к ли­ нейному и может быть представлен линейной функцией глу­ бины U— U2z, где сдвиг скорости t/z=const, и скорость ос­ новного течения обращается в нуль на нулевой поверхности z= 0 , то, как легко проверить интегрированием:

1 В дальнейшем мы вместо термина «вертикальный градиент ско­ рости» будем пользоваться более употребительным термином «вертикаль­ ный сдвиг скорости» или просто «вертикальный сдвиг».

70

'Зд есь.Um— максимум скорости основного течения, который в данном случае соответствует поверхности океана.

Эта формула показывает, что нарастающие неустойчивые волны (а также затухающие волны, которым соответствует отрицательный знак перед корнем) движутся с фазовой ско­

ростью cr=U—р/2£2, которая отличается от скорости обыч­

ных волн Россби (2.1.3) тем, что U — средняя по глубине скорость течения (скорость на среднем уровне £/(#/2)), а также двойкой в знаменателе второго члена в выражении для ст. Кроме того, формула (2.3.11) дает простой критерий не­ устойчивости:

• (2.3.12)

&и2т з

Эта формула показывает, что степень неустойчивости воз­ растает вместе с ростом вертикального сдвига скорости Uz, который в данном случае линейного изменения скорости про­ порционален скорости поверхностного течения (Uz— Um/H). Затем при любом фиксированном Um, (Uz), при й->оо (т. е. для коротких волн), коэффициент возрастания соi— kCi (мни­ мая часть комплексной частоты) такжебудет стремиться к бесконечности, так как в этом случае с* стремится к конечно­

ного сдвига скорости максимальная возможная длина неус­ тойчивых волн существенно увеличивается.

Ясно, что в области очень коротких волн квазигеострофическая аппроксимация становится непригодной и внутренними гравитационными волнами уже нельзя пренебречь. Тем не ме­ нее ниже будет показано, что учет вертикальной стратифика­ ции, которой мы пренебрегли, положив в (2.2.14) а = 0 , a также учет сил горизонтального турбулентного трения, позво­ ляет, оставаясь в рамках квазигеострофической модели, полу­ чить область неустойчивости, ограниченную и со стороны ко­

71

ротких волн. В частности, мы увидим, что реальные парамет­ ры океана таковы, что граница области неустойчивости со стороны коротких квазигеострофических волн будет все же еще соответствовать достаточно большим пространственновременным масштабам для того, чтобы можно было прене­ бречь внутренними гравитационными волнами. Влияние негеострофических эффектов на поведение самих градиентно­ вихревых волн, которое в некоторых важных для океаногра­ фии случаях может оказаться существенным, будет исследо­ вано позднее.

Полученный критерий неустойчивости (2.3.12) слишком слаб и не дает необходимого минимума информации о дейст­ вительной структуре неустойчивости возмущений. Поэтому мы должны рассмотреть задачу на собственные значения для си­

и w(z) с глубиной z, так как они зависят от конкретного ви­ да изменения по вертикали скорости основного течения U(z) и параметра статической устойчивости о(г). Для наших целей достаточно предположить, что первая собственная функция w(z) обращается в нуль на границах г = 0, z=H, не имеет узлов внутри области и, следовательно, имеет один экстремум где-то вблизи середины области (z=H/2).

В дальнейших расчетах будем учитывать только силы го­ ризонтальной турбулентной вязкости, поскольку опыт реше­ ния большого числа океанографических задач показывает, что вертикальная турбулентная вязкость сущес-твенна лишь в от­ носительно тонком экмановском слое трения. Поэтому в урав­

= 0) по z и подставляя результат в (2.2.14), получим диаг­ ностическое соотношение, связывающее w н v при заданном основном течении U(z) в один и тот же момент времени (от­ сутствие в этом уравнении с согласно волновому представле­ нию (2.2.1) эквивалентно отсутствию производных по време­ ни) . Это соотношение, вместе с первоначальным уравнением

Для приближенного определения первого собственного зна­ чения с как функции заданных параметров задачи перейдем от дифференциальных уравнений (2.3.14) и (2.3.15) к конеч­ но-разностным соотношениям, следуя обычному пути, приня­

72

тому в метеорологиипри построении «многоуровенных» мо­ делей. Для этого разобьем всю толщу основного течения Я, в котором приближенно будем считать о = const, на четыре

слоя точками z= 0 , z = H j 4, z=HI2 = AH, — Я, Я. Значению

4

каждой функции, отнесенному к данной дискретной точке, бу­ дем приписывать соответствующий индекс 0, 1, 2, 3, 4. Запи­

Уравнение (2.3.14) запишем для уровня ’/гЯ:

Здесь предположено, что можно заменить о2 на — (о34yi)-

Считая, как и ранее, что скорость основного течения линейно меняется с глубиной Uz= U zz, (Uz= const), составляя сумму и разность уравнений (2.3.16) и вводя обозначения

перепишем систему уравнений (2.3.16), (2.3.17) в виде:

(Я — с) о — ((5/&2 + ivk) v + AUAv = 0,

(2.3.19)

При выводе, этой системы использованы следующие выте­ кающие из определений (2.3.18) тождества

73