Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

лиса. Поскольку диссипативные факторы в действительности сглаживают разрыв скорости на поверхности раздела, неус­ тойчивость Рэлея ч неустойчивость Гельмгольца, существую­ щие в двуслойной модели, едва ли имеют реальное геофизи­ ческое значение, так как их свойства существенно зависят от вида вертикального профиля скорости. С другой стороны, свойства бароклинной неустойчивости в непрерывной и дву­ слойной моделях отличаются незначительно (Holomboe, 1967).

Рис. 23. Поверхность разрыва скорости и плотности, пересекающая дно и сво­ бодную поверхность. Ширина фронта I, глубина Н

Ввиду очевидных трудностей аналитического решения ис­ пользуется численный метод, развитый в работах А. А. Абра­ мова (1961). Этот метод позволяет распространить решение в область достаточно больших чисел Ричардсона и тем самым свободен от некоторых существенных ограничений метода, ис­

В. И. Ульяновой. Можно заметить, что если в метеорологии двуслойная модель в большинстве случаев является лишь удовлетворительной, аппроксимацией непрерывного по высоте течения, то в океане в связи с наличием главного термокли­ на исследование устойчивости двуслойного течения имеет са­ мостоятельное значение.

Геометрия двуслойного течения показана на рис. 23. По­ перечный наклон невозмущенной поверхности раздела опре­ деляется формулой Маргулеса:

Индексы 1, 2 здесь и далее относятся к нижнему и верхнему слою, р — среднее значение потенциальной плотности. Ось у направлена на север. Для учета широтного изменения пара­ метра Кориолиса будет использоваться приближение бэта-

плоскости: f — fo+fiy, если дифференцирование по у не про­ водится, то /=/о- Уравнения для малых возмущений относи­

ростатики и свободная поверхность заменена твердой крыш­ кой, что исключает баротропные гравитационные волны. Со­

Здесь $= df/dy. В соответствии с обычным приближением бэ­ та-плоскости, изменениями / в знаменателях (2.8.7) пренебрегается. С учетом (2.8.6), (2.8.9) и (2.8.4) для амплитуд воз­ мущений давления из (2.8.5) получим систему двух уравне­ ний:

114

Очевидно, в ; (2.8.10) члены, включающие р, множителем при dpj/dy взаимно уничтожаются, так что (2.8.10) эквивалентно

уравнению (2.8.5), в котором множитель и, при р сразу выра­ жен через давление путем использования геострофического соотношения.

Следуя Н. Е. Кочину, удобно перейти к системе безразмер­ ных переменных

С учетом (2.8.12) и (2.8.11) система (2.8.10) может быть записана в виде

смысл соответственно числа Ричардсона и числа Кибеля (Россби) в двуслойной модели.

Параметр £ = р/2/4ы характеризует влияние бэта-эффекта. Собственные значения т зависят в общем случае от трех па­

раметров а, р, В, однако, выделяя из В существенно перемен­

По своему физическому смыслу величина т — безразмер­ ная фазовая скорость возмущений (в общем случае комплекс­ ная) в системе координат, движущейся со средней скоростью

и. Поскольку г]= :± 1 — особые точки системы (2:8.14), пер­ вая пара граничных условий состоит в требовании регулярно­ сти Pi и Р2 соответственно в точках т)= — 1 и т] = + 1. Вторая пара граничных условий следует из требования обращения в нуль горизонтальной дивергенции скорости вне области те­

системы (2.8.14) с граничными условиями (2.8.15), (2.8.16) представляет собой задачу на собственные значения с пара­ метром т, причем наибольший интерес представляют вычис­ ление комплексных значений т, соответствующих бароклинной неустойчивости и градиентно-вихревым волнам. Однако нефильтрованная система (2.8.14) содержит также значения т, соответствующие внутренним гравитационным волнам. Ис­ ключение гравитационных волн из исходных уравнений мо­ жет быть произведено различными способами, из которых наи­ более очевидный— положить р2= 0 в первых частях систе­ мы (2.8.14) К

Стандартный способ отфильтрования (использование геострофических соотношений в уравнении вихря 2.8.5) приводит к системе:

принципиальных трудностей для численного анализа, им можно пре­ небречь при вычислении горизонтальной дивергенции, приводящей к (2.8.15). Ошибка несущественна, пока рассматриваются волновые числа

& > Р /2/~10~9 см~1, т. е. во всех случаях, когда имеет смысл прибли­

жение р-плоскости.

116

Система (2.8.17) в отличие от (2.8.14) не содержит пер­ вых производных от pj. В § 2.6 было отмечено, что чле­ ны с первыми производными малы только тогда, когда малы относительные изменения толщины слоев ADj/Dj — на ширине течения. В точной фронтальной модели (когда нет боковых стенок) ADj/Dj не малы по сравнению с единицей, поэтому приближение (2.8.17) является довольно грубым. Численные

расчеты в самом деле показывают, что ошибки при вычисле­ нии собственных значений из (2.8.17) могут быть довольно значительны даже при малых р, когда правые части (2.8.14) и (2.8.17) практически совпадают. Поэтому в дальнейшем основное внимание сосредоточено на исследовании точных нефильтрованных уравнений (2.8.14).

При численном анализе условия регулярности (2.8.16) за­ меняются количественными граничными условиями. Условие ограниченности d2PJdr\2 при т) = —1 , сРР2/с1т]2 при г| = + 1 и уравнения (2.8.14) дают вместо (2.8.16) пару граничных ус­ ловий:

117