Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

и (2.8.16) и таблицы собственных значений даются в При­ ложении.) На рис. 24 и 25 показаны значения |тг|, |тг| в за­ висимости от а при фиксированных р, ( т = т + 1тг-). Как вид­

но из рис. 24, степень неустойчивости с ростом а быстро воз­ растает до максимума и затем монотонно убывает, причем степень убывания растет с увеличением каждого фиксирован­

мых т выклиниваются при а = 6, Р = 0 и становятся комплекс­ ными при а > 6. Как видно из рис. 26, область максимальной неустойчивости оказывается ограниченной, кроме того, диапа­ зон существенно неустойчивых длин роли сужается с ростом а. При больших а асимптота нейтральной кривой Кочина Р =1 по существу соответствует при т = 0 нейтральным инер­ ционным колебаниям, без градиентов давления. (Это очевид­ но из (2.8.8), так как при (3 = 1 , т = 0 определитель неоднород­ ной относительно Н,-, Vj системы (2.8.2) обращается в нуль и нетривиальное решение возможно, только когда Pj = 0.)

При а ^ б появляются новые т, соответствующие «второ­ му собственному решению», однако расчеты показывают (как и можно было ожидать), что эти новые т всегда имеют мень­ шие значения |ti| по сравнению с «основным собственным

118

ственному решению», а «основному собственному решению» соответствует тг= 0, Тг = 0,505. Все собственные значения рас­ полагаются четверками: т,—т, хх, —т*, (что следует также из очевидной симметрии системы (2.8.14) по отношению к

преобразованию Р1-+Р2, г]->— ц, т->—т при В = 0). С по­ мощью интегральных соотношений, следуя, например, Педлоски (Pedlosky, 1946), можно доказать, что при р2= 0 в пер­ вых частях (2.8.14) (вариант геострофического приближения) эти четверки располагаются внутри единичного круга на комплексной плоскости т парами, симметричными относитель­ но вещественной и мнимой оси. Однако при р2=т^0 в системе имеются быстрые внутренние гравитационные волны, которые в рассмотренном диапазоне параметров соответствуют веще­ ственным т (неустойчивость Гельмгольца отсутствует) и, как

правило, лежат за пределами единичного круга.

Так, например, при р= 0,4; ос—9 имеется внутренняя гра­ витационная волна тг=4,496; Тг = 0; наряду с собственным значением, соответствующим бароклинной неустойчивости,

тг=0,53Г, п = 0,055.

При вычислении «корней» i(собственных значений), соот­ ветствующих гравитационным волнам, в качестве начальных приближений удобно использовать т, которые дает некоторое видоизменение формулы Лагранжа для длинных гравитаци­

Эта формула получается из системы (2.8.14), если пре­ небречь изменениями р,- по у, считать ширину фронта беско­

неустойчивости Н. Филлипса (Phillips, 1951) без бэта-эффек­

та, которая следует из (2.8.14) при т)-»-0, р3- = const и В2 = 0 в правых частях уравнений. Область неустойчивости лежит в этой модели на плоскости а, р слева от этой кривой: сф2< 1

119

щие справа от нейтральной кривой, действительно слабо не­ устойчивы, так что можно отметить некоторое качественное

совпадение. Однако в рассматриваемом диапазоне при малых Р в точной фронтальной модели тг существенно отличны от нуля (см. рис. 25), в то время как в модели Филлипса все неустойчивые волны неподвижны относительно среднего те­

чения и (тг= 0), так что собственные значения точной фрон­ тальной модели за счет грубых приближений сдвинуты либо на вещественную, либо на мнимую ось плоскости т. Удовлет­ ворительное приближение к точной модели формула Филлип­ са дает для хг только при малых р и весьма больших а. На­ пример, при а = 1 0 0 и р = 0,02 значения точной модели

|Тт-1 =0,052; |Тг| =0,491, а модели Филлипса тГ= 0 , |тг|~0,95.

Как видно, значения |т*| завышены в два раза.

Общее поведение |тг| при больших а можно видеть из рис. 26. При а > 6 и фиксированном р соответствующие бароклинной неустойчивости |тг| монотонно убывают с ростом а. При а > 8 и р>0,4; |т,| очень малы (порядка 10~3 и менее), так что волны практически устойчивы, хотя точное значение т = 0 лежит на нейтральной кривой Кочина.

2. Случай ВфО (бэта-плоскость).

Поскольку из параметра В, входящего в (2.8.14), может, быть выделен существенно переменный множитель а :В =

= =аВ, где B=$l/2f (при вычислениях для определенности было принято В = 0,05, что соответствует ширине фронта по­ рядка 103 км). Значения т при промежуточной ширине фронта легко могут быть оценены простой интерполяцией значений для /3= 0,05 и /3= 0. Введение бэта-эффекта !(градиента пла­ нетарной завихренности, направленного на север) нарушает симметрию фронтальной системы Кочина и симметрию соб­ ственных значений (сохраняется только симметрия относи­ тельно мнимой оси плоскости т). Корни на плоскости т сдви­ гаются влево, что соответствует увеличению западной ком­ поненты скорости возмущений.

Более неожиданным является факт, обнаруженный в ре­ зультате численного анализа и состоящий в том, что модули т для «корней», лежащих в левой полуплоскости, оказывают­ ся больше соответственных |ti| правой полуплоскости. На рис. 27 показана верхняя полуплоскость т. Внешняя полуок­ ружность на рис. 28 показана [тг-| в левой полуплоскости, где бэта-эффект оказывает дестабилизирующее действие. Сравне­ ние с рис. 24 показывает, что влияние бэта-эффекта на деста­ билизацию (или, напротив, на стабилизацию для правой полу­ плоскости) существенно только для длинных волн (это, впро­ чем, относится и к фазовой скорости волн тг) . Уже при р ^0 ,4 влияние бэта-эффекта несущественно при выбранном нами

120

значении 5 = 0,05 (ширина фронта ~ 103 км). Для узких оке­ анических пограничных течений шириной порядка 102 км, В будет порядка 5-10~3 и разница в значениях т* (при одинако­ вых Р) на рисунках 24 и 28 будет, грубо говоря, на порядок меньше. Тем не менее для широких атмосферных и океани­ ческих фронтов этот эффект может иметь существенное зна-

кости соответственно. Кривые 2 занимают промежуточное по­

(3-—0) простую алгебраическую систему Н. Филлипса на бэтаплОскости. В этой системе отсутствуют неустойчивые волны, распространяющиеся на восток, так как хг, обязанные в мо­ дели Филлипса своим существованием только бэта-эффекту, всегда отрицательны (при Tj=^0). В модели Филлипса (и аналогичных моделях, в которых не учитывается изменение параметров основного течения с широтой) бэта-эффект ока­ зывает чисто стабилизирующее действие и возможность деста­ билизации течения за счет бэта-эффекта полностью теряет­ ся. Физическое объяснение дестабилизирующего действия бэ- та-эффекта в терминах градиента — завихренности основно­ го течения особенно наглядно может быть дано на примере бездивергентного течения Куо (Кио, 1949), где необходимое

121