Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

г/г нормальная компонента скорости должна обращаться в

амплитуда волновых возмущений экспоненциально затухает: р = ех р (± % ) где k = ]/& а + &о , ko=--f2/gH, а знак выби­

рается, чтобы обеспечить затухание при у-^+оо. Это приводит к другому виду граничных условий: •

Границы могут находиться и на бесконечности. Уравнение (2.9.8) при условиях (2.9.9) или (2.9.10) может, вообще го­ воря, иметь решения с комплексными собственными значения­ ми C= Cr-\-iCi, которые приводят к неустойчивости. Условия, необходимые для неустойчивости, легко, доказать, следуя обычной методике. Обозначая выражение в последних квад­ ратных скобках (2.9.8) через К (у), полагая p — pr+ipi,

(U—c) _1 = ai+ ta2, где а \= (Я—с2) | U—с\~2; a2=Ci\U—c\-2,

отделяя вещественную часть (2.9.8) от мнимой, получим

127

Отсюда следует (после умножения первого уравнения на * Pi, второго на рти вычитания):

Следовательно, если с^Ф0 (неустойчивость), суммарный гра-

нять знак внутри области. Полученный простой критерий так называемой баротропной неустойчивости (т. е. неустойчиво­ сти, источником которой является кинетическая энергия не­ возмущенного движения) может иметь интересные приложе­ ния к анализу баротропной компоненты течений, проходящих вблизи материкового склона (например, начальный участок Гольфстрима, Г. Стоммел (1963)).

На материковом склоне А Н /Н ~\ и при U~ 1 м/еек, Дг/~100 км (оценки, характерные для Гольфстрима) первый член в выражении для К {у) будет на порядок больше кривиз­ ны поперечного профиля скорости.

Отсюда следует, что расчеты баротропной неустойчивости Гольфстрима, основанные на бездивергентных моделях (Гаурвитц и Пановски, 11950), недостаточны для определения фак­ тического характера движения.

Конечно, само по себе изменение глубины без поперечного

изменения скорости течения не может служить причиной неус­ тойчивости. В этом смысле полученный критерий не являет­ ся достаточным. В частности, при U = const, после умножения (2.9.8) на р— рг—ipi, интегрирования по частям и использо­ вании граничного условия (2.9.9) получим:

128

Уг

j {lpl3+ (Й3+ _£г)|р|2}^

Hi

Следовательно, если U = const, то с*=0 и течение устойчиво. Это очевидно также из энергетических соображений, так как для нарастания волновых возмущений, как известно, необхо-

(симметричный относительно гребня подводный хребет или

т. е. волны, распространяющиеся вдоль симметричных под­ водных хребтов, сводятся к установившимся отклонениям, движущимся со скоростью среды.

На материковом склоне условия существенно несиммет­ ричны, поэтому целесообразно подробнее рассмотреть пример достаточно простого, но характерного изменения глубины.

Когда Я меняется линейно, глубина по мере отдаления от берега стремится к бесконечности. В действительности, ма­ териковый склон имеет конечную ширину, поэтому ниже будет рассмотрен достаточно типичный случай

Начало координат возьмем на береговом крае материко­ вого склона. Как видно из (2.9.15), в открытом океане (г/-*— оо) Я = Я 0. Для U—const (и, следовательно, веще­ ственных с) уравнение (2.9.8) перепишем в виде:

Поскольку нормальная к береговой черте компонента ско­ рости должна обращаться в нуль, граничные условия для

(2.9.17): р = 0 при у = 0, р — ограничено при г/->— оо (2.9.18).

Если ехр(—ху)_— х, то вместо (2.9.17) получим

хЦх — 1) ^ Е - + х ( х — 1) -£ -+ [* ,' — a'2x) — k'2(x— \)]p=0.

т — а — — V k '2 + а'2 < 0 и т — р = V k'2 + а’2 > 0 ,

поэтому условие ограниченности р (оо) приводит к С2= 0 , и решение для р с учетом использовавшихся выше обозначений:

130