Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Скачать файл (7,49Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ного слоя скачка), а другой лежал на дне вблизи верхней границы главного термоклина (500 м). Амплитуда таких «вынужденных» вертикальных смещений, связанных с кине тическим условием на дне, вблизи дна будет, очевидно, зна чительно больше, чем вблизи свободной поверхности.

	§ 3.2. Квантовомеханическая аналогия.
	Случай N = const. Внутренние			волны
	в слое скачка. Дисперсионные кривые
	Перепишем уравнение		(3.1.7)	в виде:
- 5 b +	а 2 — /	[ЛР (г) -<в*].ф =	0	(3.2.1)
dz2
и упростим граничное условие на свободной			поверхности (3.1.8)
	Ф(0) = 0.			(3.2.2)

Используя условие (3.2.2) вместо (3.1.8), мы отфильтро вываем обычные поверхностные волны и практически не ме няем вида внутренних волн или, иными словами, теряем одно решение (соответствующее нулевому собственному значению) из всего бесконечного множества собственных решений уравнения (3.2.1). Известно, что амплитуда внут ренних волн становится очень малой в непосредственной близости к свободной поверхности, что, с другой стороны, объясняет возникновение бароклинных волн значительной амплитуды внутри жидкости за счет малых смещений сво бодной поверхности. Очевидно, уравнение (3.2.1) имеет соб

ственные	решения,	удовлетворяющие	нулевым	граничным
условиям,	лишь	когда m a x N > a > f	(другой	возможный
случай f>b)>maxN не реализуется			в океанских	условиях,
где всегда	/V>f).	Соответствующие	собственные значения

образуют дискретную монотонно возрастающую последова тельность, не имеющую точек сгущения в конечной области. При больших п для собственных значений (если перейти к


безразмерной	переменной		z' = z/H)			имеет место			оценка
Хп~ пя . Некоторые		общие	свойства			решений		легко	могут
быть установлены		по аналогии			с одномерным			уравнением
Шредингера	(см., например,			Л.	Шифф,		1959):
	- ^ г	+ - \| г [ -		v (*) +		Е]^	= 0-		(3.2.3)

Так, например, каждой собственной частоте соп соответ ствует интервал глубин г{п < г < ггп, где соn<N(z), и реше ние имеет осциллирующий характер, причем решение номе ра п имеет п экстремальных точек и (п—1) узловых точек (если не считать двух граничных точек). Вне этого интер-

140

вала решение носит затухающий характер (в квантовой механике это соответствует быстрому затуханию волновой функции в классически запретной области). Однако следует

отметить, что		формальная	аналогия уравнений (3.2.3) и
(3.2.1)	не может быть проведена до конца,			так как	-часто
та со	входит	иным образом	в уравнение	(3.2.1),	нежели

энергия Е в (3.2.3). Кроме того, произвольные постоянные, на которые умножаются собственные функции, в квантовой механике однозначно определяются из условий нормировки, а в гидродинамической задаче могут быть определены толь ко из решения начальной задачи Коши.

Простейшее решение (3.2.1) соответствует случаю N = const. В этом случае при любой длине волны не имеется решений, удовлетворяющих (3.2.2) и обращающихся в нуль на бесконечности, и в качестве второго граничного условия надо использовать .условие на горизонтальном дне (3.1.4). Тогда собственные функции, очевидно, будут иметь вид

= Л*,sin - ^ р - г {п= 1 ,2 ,3 ...) ,

что для каждого п дает на плоскости [со, k] дисперсионную кривую

соП

Д/2

(гея) 2 /

/ 1 _|_

{ п п ) 2

*/г

(3.2.4)

1 '

т 2 1 [ 1 («о*.

Все эти кривые

начинаются

из точки со = /,

й= 0 и располо

жены в полосе,

ограниченной прямыми со = f

и co = iV,

парал

лельными оси- k. Можно

показать,

что

при

любом

п:

дш/dk—yO

при

£->-0

/г-voo. Кроме

того, при

п->оо

<Эсо/<?£->0 при любом k, т.

е.

внутренние

волны

высокого

порядка по п вырождаются в инерционные

колебания

без

градиентов

давления

и без

волнового

переноса

энергии.

Частотный

спектр при

любом k имеет точку сгущения на

инерционной частоте.

Эти

общие

свойства

дисперсионных

кривых, как видно из дальнейшего, сохраняются и в случаях более сложной стратификации (Марчук, Каган, 1970).

Из (3.2.4)	при ()2<С 1 следует формула
	с	л /	N2H2	+	f2 .			(3.2.5)
	п	V	п2п2 +		к2
Очевидно, эта	формула	совпадает с			(2.1.33)		при	U= 0. Для
групповой скорости из (3.2.5)			получаем:
	_ да		/		!	f 2 ^	I
	_ да	N2H2	/	N2H2	!	f 2 ^	0
s	dk	n2n2	\	n2n2	'	k2 j\|	•	(3.2.6)

141

Сравнение (3.2.5)	и (3.2.6)	с известной		формулой Рэлея
„	скорости	,	, дс	показывает, что
для групповой	скорости	с . = с -+-	k ----	показывает, что
		s	dk

влияние эффекта вращения Земли на длинные волны приво дит (если воспользоваться оптической терминологией) к нормальной дисперсии. Как видно из (3.2.6), групповая ско рость (в противоположность фазовой скорости) имеет мак

симум на экваторе (при /=0).	соответствует одному из.
Заметим, что формула (3.2.4)	соответствует одному из.
простейших случаев (N—const),	когда функция о> = оэ(/е)

может быть выражена в виде явной аналитической зависи мости, но при наличии слоя скачка плотности, модель кото рого рассматривается ниже, это уже не удается сделать, и для расчета дисперсионных кривых приходится прибегать к численным и графическим методам.

Рассмотрим	слой	скачка [—а,		+а\, внутри	которого
N= const, выше	[ + а,	оо]	и ниже [■—а, — оо ] которого плот
ность постоянна	(рис.	23)	и N = 0.	Постоянному	значению

соответствует экспоненциальное (или «почти линейное») из менение плотности с глубиной. Влиянием свободной поверх ности и дна, а также параметра Кориолиса f будем пренеб регать, что вполне допустимо в случае не очень низких ча

стот. (Влияние параметра Кориолиса									в области		частот
порядка f легко может быть					учтено			впоследствии.)			Если
обозначить		через	ф<!> решение		для		верхнего			однородного
слоя,	через	<р<3>— решение		для	нижнего				однородного		слоя,
через ф<2>— решение в слое скачка						с постоянным из уравне
ния	(3.2.1)	(при f = 0),		учитывая			ф<1)(со)=0			и ф®(—о о ),
получим
		фй) = Ae~kz				(а <		2 <	о о )
	ф ( 2 )	ф(2> = Be1'1'-2 + Се--1'12				( - а < 2 < 1 о )					(3.2.7)
		Ф<3>= Dekz				( —	ОО <		г < — а)
			Y=		№ — со2
					со2

Удовлетворяя			условиям	непрерывности					ф(г)	и dq>ldz при
2 = ±а, получим			систему	четырех			линейных			однородных
уравнений		относительно		произвольных					постоянных А, В,
С, D. Приравнивая к нулю определитель									этой	системы, по
лучим дисперсионное уравнение
			I (ф— 2av) _	р— Ш	— 2ау)						(3.2.8)
	tg ф = t --------------------------- =tg(2ay — ф).
Это уравнение			можно	упростить,				положив		tgф = &/Y, и,
следовательно,

142

1 4- i k

e±l(f . Тогда вместо (3.2.9) получим

УCOS ф

tg<p = i

e i(<p— 2 a y )

e—£(ф—2av)

= tg (2ay— ф),

ei(<p—2av).’ |_ е- 1(ф—2av)

откуда <p = ay -f

n ~~> гДе n — целое

число или

нуль. Таким

образом, имеем

tgay

при п = 0 или четном.

— ctgy при п нечетном,

(3.2.10)

Обозначая

Е =

№ —<о2 ka, вместо

(3.2.10)

имеем два

/ ■

дисперсионных уравнения

ctg Е =

п — четное

(3.2.11)

Н----— ,

tg Е = ------— ,

п —нечетное.

(3.2.12)

k a

Значения |

при любом

фиксированном

ka легко

могут

быть найдены

графически

или

с помощью

таблиц

(Янке,

Эмде, 1959). Соответственно уравнениям (3.2.11),

(3.2.12)

решения также

можно

разделить

на два

класса:

четные

(симметричные относительно точки 2 = 0)

и нечетные.

Выра

жая В и С в

(3.2.7)

через А и отделяя действительную часть

в выражении для

получим

фО = Ае~ак

cos y (2 — a) •

■sin y(z — a)

где k/y = tgay — для четных решений и k/y = —ctgaY — Для нечетных решений. В первом случае в (3.2.7) D = A h а во втором D = —А. Первое четное и первое нечетное (для п= 0 и п= 1) решения схематически изображены на рис. 31. Дис персионные кривые, построенные по уравнениям (3.2.11) и (3.2.12), показаны на рис. 32. Влияние вращения Земли, существенное только вблизи начала координат (в области малых частот и волновых чисел), -учтено путем замены в

выражении для | знаменателя со на V ®2—/2. Тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат в какуюлибо точку дисперсионной кривой номера п, численно равен фазовой скорости cg — da>jdk волны /г-ного порядка. Тангенс угла наклона касательной равен групповой скорости cg = da/dk. Как видно из рис. 24 (правда, в выбранном мае-.

143

штабе этот эффект почти не заметен для волны нулевого порядка), Cg-vO для очень длинных и очень коротких волн, соответствующих граничным частотам, • близким к f и N.

Волновой перенос энергии происходит на промежуточных частотах.

Интересно, что рассмотренная задача во многом анало гична квантовомеханической задаче о частице в потенциаль ной яме конечной глубины. Однако имеется и существенное различие: если в квантовой меха нике при конечной глубине по тенциальной ямы число собствен ных решений (связанных состоя ний) конечно, то в рассмотренной гидродинамической задаче число собственных волновых решений бесконечно. Это связано с упоми навшимся выше отличием урав-

(О


Рис. 31.	Первое		четное	(п=0) и	Рис. 32. Дисперсионные кривые для
первое	нечетное		(я=1) решения,		волн первых		порядков,		соответст
соответствующие			N =const при		вующих	распределению			плотности,
а^гг;э= —а и		Л!=0 при		\|г \|> а .	изображенному			на рис,		23
Соответствующее			распределение
невозмущенной		плотности р0 (г)
	показано слева
нения	(3.2.1)		от уравнения Шредингера				(3.2.3).	Если		на се
редину слоя скачка z = 0 поместить						свободную поверхность,
на которой		должно выполняться граничное условие							(3.2.2.),

то в качестве допустимых решений останется только множе ство нечетных решений, соответствующих дисперсионному соотношению (3.2.12). Эти решения дают приближенное пред ставление о внутренних волнах в слое главного термоклина [0, —а\] с учетом того, что в нижележащих водах океана плот

ность почти постоянна.

Однако для изучения изменения с глубиной амплитуды внутренних волн во всей толще океана рассматриваемая простая модель слишком груба. Поэтому в следующем пара графе будет рассмотрена плотностная модель, соответствую-

144

Смотрите также файлы

Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие.pdf

Толмачев, В. Н. Электронные спектры поглощения органических соединений и их измерение.pdf

Филипп, Н. Д. Рассеяние радиоволн анизотропной ионосферой.pdf

Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика.pdf

Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно