Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

§ 3.3.

Плотностная

модель

для

средних

и низких широт. Зависимость изменения

амплитуды с глубиной от распределения

плотности и длины

волны.

Замечание о

внутренних волнах

приливного

периода

Пусть

имеется распределение

плотно-

стй:

р0 = const

при 0 < z <

h

р = Др (1 — er Pz),

Др = р» — Ро при 0 > г > —Я.

(3.3.1)

ния плотности — главного

термоклина,

толщину которого

удобно

определить

как

Яг = 2/р. Начало координат для

удобства

выбрано

на нижней границе

однородного слоя.

1

dpо ^

____ АрР е&г

АрРеР*

se®z.

Ро

dz

ро _j_ Др (1 _ е+ Р г)

Ро

Другими словами,

N2=

0

при 0 < 2 <

/г,

(3.3.2)

Др авг =

при 0 > 2 > — Я.

gP —^ -e $ z = gse$z

Ро

После замены независимой переменной еРг = g уравнение

(3.2.1)

приводится к виду

S V

+ &Ф' + (V I -

Ф = 0.

(3.3.3)

Здесь

q2= gk2s/Р2 (со2 — /2); v

- 2£со/р ]Ло2 — /2.

Ю Б. А. Тареев

145

Уравнение (3.3.3)

интегрируется в цилиндрических функциях

Ф =

ci/v т ' / ‘) + c2Nv (2^*/,),

(3.3.4)

слоя решение может быть взято в виде:

Ф0 (г) = c0sh&' (г— К),

(3.3.5)

где k =

/г J/"со2/(со2

—|/2) .

Зто

решение

удовлетворит условию

отсутствия

верти­

кальных движений на свободной поверхности: <р0(/г) =0.

Если глубина океана конечна,

то на

горизонтальном дне

2 = —Н вертикальная компонента

скорости также

должна

обращаться в нуль.

Таким образом

Ф о И1) г= Ф ( — Н ) = 0 .

( 3 . 3 . 6 )

На уровне z = 0 должны выполняться условия:

Фо(0) = Ф (0),

при z =

0.

(3.3.7)

dz

dz

Возвращаясь в

(3.3.4) к старой

переменной

г,

из

(3.3.4)

(3.3.5),

(3.3.6), (3.3.7) получим:

%n = Ci Iv (x„eP/2z)

lV

Nv (хпе$/2г) , ( 0 < z > — H),

N v (xn6)

/v (х)-

Nv (x)

' /у (xS)

Nv+i (x) — /v+i (x) -I-

-lv (xb)

N v (л-8)

Nv (хб)

Ж__

M *)

^ V(xb)

iV(x)

cth^'/i = 0.

(3.3.9)

(5 x

Nv {x6)

Здесь обозначено:

— L я

и использова­

2q == лг, 6 = e

2

но соотношение

—— /v (z) = — /v — Ai+i-

Вместо

р можно

ввести обратную

dz

г

величину, толщину «главного термоклина»:

hw= 2/p,

которая в каждом конкретном случае должна

быть

подобрана

из наблюдений.

В реальных условиях

hT/ H ~

~2-10-1 и,

следовательно,

—Ё. /j

Опре­

б = е

2

= е ~ н/кт<^1.

деление

нулей уравнения (3.3.9)

на

плоскости

х, у

связано

с большими

вычислительными

трудностями.

Однако

неко­

торые

предельные случаи,

представляющие

вместе

с тем

Воспользовавшись тем,

что 6<Sl и Nv (z)

велика при

малых значениях аргумента,

вместо (3.3.9) запишем

_1_

v -J---- —cth kh Iv (х) — /v+i(x) =

0.

(3.3.10)

X

Р

Это уравнение можно еще упростить.

Положив, что kh мало, получим

/v(x) =

6'x/v+1 (х).

(3.3.11)

(если

[= 0)

x = 2q = - ^ ^ / rq-^~ = хп, где х п—корни бессе­

левой

функции нулевого порядка

(xi = 2,40;

х2 = 5,52

и т. д.).

Для больших п верна асимптотика хг ~ пп .

Отсюда для ско­

рости

длинных волн порядка

п получаем выражение:

сп

со

(3.3.12)

kn

так как /гт =2/|3. (Если учитывать f,

то получим еще слагае­

мое f2/k2.)

Следовательно, в этом предельном случае скорость рас­

пространения

длинных волн

определяется

глубиной термо­

клина

hT. Более подробные

расчеты

показывают,

что учет

правой части (3.3.11) приводит к некоторому

уменьшению

корней

уравнения. Так, например, имеем для

6i = 0;

6i = 0,l;

6i = 0,5

соответственно *! = 2,40;

Х!= 2,20;

ЛГ! = 1,60.

Иначе

10;

L47

случая 6' = 6' = 0.

Это

позволяет

исследовать

дисперсию

внутренних волн исходя из приближенного

уравнения

(3.3.11)

при 6= 0.

При

произвольном v = khT вместо

(3.3.12)

для волны первого порядка можно записать

c1M = ~ }^

- ] / r — ghT.

.

(3.3.13)

*1 (v) У

Ро

Здесь

хДх)

(значение

первого

корня

уравнения

7v(x)=0)

— непрерывная, монотонно

возрастающая

функ­

используя графики, приведенные у Янке и Эдме

(1959). ■

На рис. 33 показано изменение амплитуды " внутренних

волн с глубиной при

различных

значениях параметра

v = 2kl$ = khT

= 2nhT/L,

где7.^длина волны.

(Здесь к' за­

менено на к, т. е. пренебрегается влиянием f.)

равной 1 км,

Толщина

главного

термоклина

принята

внутренних

волн. При

khT< 1 первое

решение (3.3.4) зату­

хает слишком медленно, и для построения решения, обра­

щающегося

в нуль при

z —■—Н, надо

использовать оба ли­

третье уравнение

системы (3.1.2) переходит в

уравнение

гидростатики, а решение <p(z) для волны первого

порядка,

не имеющее узлов,

максимально вблизи нижней

границы

на,

почти однородных

по плотности, эти

длинные волны

имеют ту же

кинематическую структуру,

что и обычные

длинные

баротропные

волны,

Z m

однако

в

противоположность

последним

бароклинные длин­

ные волны обязаны своим су­

ществованием

не

колебаниям

свободной поверхности, а на­

личию

слоя

главного

термо­

клина.

на

В заключение остановимся

возможности

существова­

ния в непрерывно стратифици­

рованном

океане

внутренних

волн,

вызванных

непосред­

ственно

приливообразующими

силами.

Пусть оси координат

направлены так, что приливо­

образующая сила имеет толь­

ко одну компоненту

X

—X(x,t) =

a0e^k“x~ <i,i‘t\

(3.3.14)

(3.1.2)

надо

еще

добавить

Х(х, i). Если затем последова­

Рис. 33. Изменение ампли­

тельным

дифференцированием

туды

вертикальной

компо­

исключить из

(3.1.2) все неиз­

ненты скорости при рас­

вестные,

кроме w (но не пре­

пределении

плотности

(3.3.1).

Значения

khT при

небрегая

изменением

плотно­

hT= 1 км

соответствуют

сти po(z)

с глубиной в уравне­

длинам

волн

0,8;

2,08;

ниях

по

горизонтальным осям

6,28

км.

Кривая khT=0 со­

ответствует длинной

волне

координат),

то получим

(Я=оо). Наличие тонкого

L ( a , )

=

_

_ L

однородного

приповерх­

ностного

слоя

учтено толь­

- Ф а . * ( * , * )

а

кривой

khr=0. Аб­

ро

ко для

Д/2

солютные

величины

ампли­

=

туд

определены

с

точ­

----fe0co0aje£(ft«Jf_“«<), (3.3.15)

ностью

до

постоянного

множителя

где

L — дифференциальный оператор,

соответствующий

од­

нородному уравнению

(3.1-.3).

Если при выводе

(3.3.15)

пре­