Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Ш = — $h*w,

 

Д£ = ----—f

— ;

 

 

 

v,

ду

 

=

v

(д 2 = д _ ^ - ) . (1.5.1)

 

v ду

\

<?2a /

Здесь

— удвоенная угловая скорость вращения Земли

(вектор вращения направлен вдоль оси у), i1 — отклонение температуры от невозмущенного распределения температуры с постоянным градиентом Р, направленным противоположно вертикальной оси z, как и сила тяжести g; w, Z, — вертикаль­

ные компоненты скорости и вихря

скорости, а — коэффи­

циент температурного расширения; k,

v — температуропровод­

ность и вязкость, h — толщина слоя

конвекции. Представим

неизвестные в виде <pj= cpj{z)exp i(lx+my). Тогда

из (1.5.1)

(опуская черточки) получим:

 

 

(D2 —а2) £ = ---- — imw,

(D2 — о2-)■&= —

до,

v

k

 

(D2 — a2)2w— - ^ s m £ = -l¥ -a2-&.

(1.5.2)

V

V

 

Исключая # и £,' получим:

 

 

(D2 —a2)3 w u Qm2w = — а2У?до.

(1.5.3)

Здесь D — djdz-, а2 = 12+ т 2\ Q= f2hi\ - 2\ R=py¥ (kv)~1— числа Тэйлора и Рэлея. Если выбрать начало координат в середине

слоя конвекции, то условия прилипания (и,

v,

ш = 0)

на грани­

цах (2 = ± 1/2) дают:

 

 

 

•&= w = Dw = £ = 0 при z = +

1/2.

(1.5.4)

Условие скольжения (du/dz = dv/dz = 0) на

одной

из границ

приводит к равенствам.

 

 

 

# = w =-- D2w = Dl = 0. !)

 

 

(1.5.5)

Пусть F(z) = (D2— a2)2w — — imt,. Тогда из

(1.5.2) следует:

(D2— a2) F = —a2Rw. Умножая это уравнение на F,

после ин­

тегрирования по частям при любом виде граничных условий

(1.5.4) или (1.5.5)

получим:

 

 

 

Ч,

[(DFf +

о2Я ] dz

 

 

J

R = —

Tft—

— ------------------------------------------------------------------

 

( 1 - 5 > 6 )

а2

С {[(D2- a

2)K)]2 -

/i2 [(Z)Qa 4 -a2g]}d2

 

-Чг

 

 

 

1 Здесь в

отличие

от

§ 1.3 не используется приближенное гранич­

ное условие D% = 0.

31

Как следует из уравнений (1.5.2), если О и ш — вещественны, то £ должно быть чисто мнимым, так что I2— положительно определенный функционал.

Равенство (1.5.6) дает вариационный принцип для опреде­

ления

R: 8R = ar2l j x(8/,— а2Р6/2). Выполняя варьирова­

ние и интегрируя по частям, с учетом

граничных условий

(1.5.4)

или (1.5.6) и уравнений (1.5.2)

при 8R = 0 получим

уравнение (1.5.3) для w. Рассмотрим случай прилипания на

границах, соответствующий условиям

(1.5.4).

Согласно ре­

зультатам для случая скольжения на границах

(§ 1.3), мини­

мальным числам Рэлея соответствуют

низшие

собственные

функции 'fl'(z), w(z), не имеющие узлов внутри области. По­ этому для F(z) в качестве пробной функции естественно взять удовлетворяющую (1.5.4) четную функцию вида:

F = const [cos яг —f— (1 —f—cos 2лz)\.

(1.5.7)

Задача состоит в нахождении таких значений вариацион­ ного параметра А и горизонтального волнового числа а (яв­ ляющегося фактически вторым вариационным параметром), которые соответствуют минимальным значениям R в (1.5.6) при заданном числе Тэйлора Q. Поскольку (D2—a2)F = —Ra2w,

то из (1.5.3) следует (D2—a2)3w—Qm2w —(D2—a2)F. Если F

задано (1.5.7), решая это неоднородное уравнение и сохраняя только четную часть решения, получим:

з

w = £ В,- ch q-z + С1у1cos nz + А (С0у0 -f С2у2 cos 2яг).

(1.5.8)

Из второго уравнения (1.5.2) при ш, заданном (1.5.8), по­ лучим выражение для £ (достаточно взять только частное ре­ шение неоднородного уравнения):

£ =

—гг ^~ [ У % Ch Ч,1 — Yi cos яг — A (у0 +

y2cos 2nz) 1;

 

v I

— a2

 

 

/=1

 

(1.5.9)

 

 

 

q) =

a2 + | (m2Q) |*/. со,.;

со, = 1, co2,3 = j - ( - 1 ±

i / 3 ) ; (1.5.9')

Cn = n2л2 -f a2; Yn = [Cn -f (m2Q)]~l.

Подставляя (1.5.8) и (1.5.9) в граничные условия (1.5.4), получим:

з

ch f = A(Ciy2- C 0yQ) ^ A A 1,

/=i

32

з

 

(1.5.10)

'^q)Bj sh-|- =

nClYl = A2,

i=i

 

 

3

 

 

2 B i (tf — a2)_1 ch

Y = Л (Yo —

Ya)-

/=1

 

 

Определитель этой неоднородной относительно Bj системы равен:

8 =

/3

1

и 91

 

— ch —

 

 

х

2

i i 2 - ! - c h A 6.

(1.5.11)

 

Здесь (и далее):

ах sh ах + а2 sin а2 = £;

а2 sh ах + % sin а2 = rj; ch ах + cos а2 = 2;

х = 1( т 2<2)],/з; a i,2=

<72,з = «1 ± га2;

а2 sh ах — а2 sin а2 =

а2 sh ах — ах sin а2 = т); ch ах — cos а2 = 2.

Y м * ± т 1а‘

Выражения для алгебраических дополнений Bj, в которые также входят определенные выше величины, здесь не приво­ дятся ввиду громоздкости формул. Ниже дается только окон­ чательный вид интегральной формулы (1.5.6) после подста­ новки в нее явных выражений для ш, £ с коэффициентами Bj, определенными из (1.5.10):

 

аЩ =

- Lс г 1 +eA+hA*

(1.5.12)

 

 

2

Ь + CA + dA*

 

 

’

где

 

 

 

 

 

СгУг 1

5

V.

С —

(3C0Y0 + 4CjYi + В2у2) -j-

2Л

fttgf

[(с2 +

4я2

х) -Ь

 

+

х) (а2 +

(Ci + х) +

s- 4я2 [I (с2 + х) + l/Зт] (с2 — х)] +

^ Б. А. Тареев

33

+ У з ц Д А + 4

Ci

 

+ ? 2Ахх —А1с1— А3 ( — + —

(As = дс» (Y0 — Ya), Р« = *2 —спл: + с2п).

Далее

 

^ — AVo + ^ AY2

 

8я2

,,

<?i

Г)

2Ля

 

9lthT

- А £ +

+

1(аг + х) (Сг.+ -Y) .

И

А +

6

yf3

 

 

 

1

{<?ith Y

 

Л А + —

+

 

Р 2 ? 2 ? 3

 

 

 

 

 

 

 

Л1С9- 2 А 1х + -2М2Са — *) +

 

/ з

 

 

 

 

 

Лхл:—

(А — х + о2) 2

| >

 

/ = 1; g = — ; h = С* + 2а*

 

 

'

6 Зя

Сх

 

В соответствии с обычной методикой из (1.5.12) определим

dR/da = 0. После подстановки сюда значения /? получаем урав­ нение для вариационного параметра Л:

Л2 (/гс— dg) + 2Л (hb — /d) .+ (g£ — cf).

(1.5.13)

Коэффициенты в (1.5.13) зависят от а и Q. Поэтому, фикси­ руя параметр вращения Q (число Тэйлора), для каждого из (1.5.13) определяем Л. (Заметим, что при вычислении в (1.5.13) берется арифметическое значение корня, так как от­ рицательное значение соответствует высшему собственному значению или большим R и должно быть исключено.) Затем,

подставляя это значение Л в (1.5.12), вычисляем R.

Повторяя

эту процедуру для различных а, в конце концов,

находим

m in/?(а). Значение а, соответствующее минимуму R

(при за­

данном Q), определяет горизонтальное волновое число конвек­ тивных ячеек. Для каждого заданного Q вся вычислительная процедура повторяется.

На рис.

2а показана в логарифмической

шкале

кривая

/?e=/?c(Q),

соответствующая условиям прилипания

(кри­

вая /). Кривая 3 соответствует решению § 1.3

для простых

34

условий скольжения на обеих границах. Для определенности в процессе вычислений (проводившихся с точностью до 5 зна­

ка) было принято, что ячейки имеют квадратную

структуру

т = 1 =а1У2. Безразмерна?^ горизонтальная длина

волны для

таких ячеек: k/h = 2na~l ]/2 при полученном значении а=3,13 изображена на рисунке кривой 1а. Как видно из 1а, при рас­

смотренном

здесь

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

граничных

условий, зна­

% W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чения а не зависят от Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и равны значениям а, по­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лученным

при отсутствии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращения

(Pellew,

 

Soush-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wel, 1940). При Q-ИЗ кри­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вые

(1.3)

соответствуют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

также

известным

 

значе­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ниям Rc: 1707:657.

Раз­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личие в граничных усло­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виях практически не ска­

Рис.

4.

Кривые

1, 2,

3

показывают

зывается при Q > 105. По­

скольку при обоих видах

в логарифмической

шкале

зависи­

мость критического числа Рэлея от

граничных

 

условий

параметра

 

вращения — числа

Тэй­

Rc=

Rc(Q)

 

МОНОТОННО

лора

Q.

 

Кривая

1

 

соответствует

возрастающие

функции

прилипанию на обеих границах, кри­

Q,

а параметр Q

 

всегда

вая

2 — прилипанию

на

одной и

 

скольжению

на

другой

границе,

входит только в комбина­

кривая

3 — скольжению на

обеих

ции m2Q в соответствии с

границах.

Вычисления

проводились

принципом

Рэлея,

 

факти­

до Q —106

с

точностью

до 4-го зна­

чески

возникающие ячей­

ка, при расчете кривых принят

квадратный характер ячеек в гори­

ки

должны

соответство­

зонтальной плоскости, так что при

вать минимально возмож­

практических оценках Rc эффектив­

ному т\ чтобы уменьшить

ное

значение

 

Qst,= [(Kyh)2/a2]Q,

стабилизирующую

 

роль

где

К у — размерное

меридиональное

 

волновое

число,

 

определяемое

фак­

горизонтальной

 

компо­

тической

протяженностью

слоя

кон­

ненты

параметра

Корио­

векции

вдоль

меридиана.

Кривые

лиса. Поэтому безразмер­

1а, 2а, За дают зависимость безраз­

ное

меридиональное вол­

мерной

горизонтальной

длины волны

конвективных ячеек K/h от lg Q для

новое

число

т

должно

граничных •

условий,

 

соответствую­

определяться

геометрией

 

 

щих

кривым

1,

2,

3

 

задачи (протяженностью1

Ly= 2nlky = 2nhjm конвективного слоя вдоль меридиана). Так

как кривые Rc— Rc{Q)

на рис. 4

рассчитаны для случая

т2= а 2/2, то в каждом

конкретном

случае при заданном Lv

эффективное значение Q3<}>для расчета Rc должно быть умень­ шено в отношении т21(а212) = 2(kvh2)/а2, где а2 определяется конкретным видом рассмотренных граничных условий.

Случай

смешанных граничных

условий — прилипание

(1.5.4) на одной и скольжение (1.5.5)

на другой

границе —

оказывается

более сложным в вычислительном

отношении.

3*

 

 

35

Смотрите также файлы