Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Поскольку скорость распространенного звука, зависящая от температуры потока, остается неизменной во всех направлениях, поэтому число Мн„ по нормали определяется равенством

2. Прирост давления и плотности в косом скачке уплотнения. Формулу для повышения давления в косом скачке уплотнения так же, как и для прямого скачка уплотнения, можно получить из уравнения ударной адиабаты (4.3) и уравнения неразрывности

или, заменяя число М через коэффициент скорости X

то изменения давления в такой ударной волне не наблюдается. Это значит, что при таком угле а скачок выродился в слабую волну давления, а угол а есть угол огибающей волн давления, или угол характеристики.

Из уравнения неразрывности и основного кинематического со­ отношения найдем формулу для повышения плотности в косом скачке уплотнения

(4.18)

Рн

3. Потери полного давления в косом скачке уплотнения. Как видно из предыдущего, все уравнения косого скачка уплотнения имеют точно такой же вид, как и для прямой ударной волны, только коэффициент скорости Хн заменен на Х„„, так как только эта составляющая скорости претерпевает разрыв. Поэтому урав­ нение для определения потери полного давления в косом скачке уплотнения можно записать

60

'-ЯП

4.Зависимость между углом поворота потока со и углом скач­

а из уравнения неразрывности

Подставив это значение в (4. 20'), записав тангенс разности двух углов и решив его относительно угла поворота потока, получим

ки, на рис. 4.2 — 4.5 даны графики решения этого уравнения для различных показателей адиабаты k.

5. Ударная поляра. Многие задачи на течения с косыми скач­ ками уплотнения легко решаются с помощью ударной поляры.

Треугольники скоростей потока с косым скачком уплотнения, изображенные на рис. 4.1, можно совместить и построить их из

61

Рис. 4. 4. Зависимость а от oi и М для k — 1,25

64

одного начала, как э+о сДеЛанО На рис. 4.6. Найдем уравнение кри­

Рис. 4.6. К пыводу уравнения удар­ ной поляры

Используя основное кинематическое соотношение (4.11) и за­ меняя скорости wM, w 1n и до, через до„, Ui, V\ и решая его относи­ тельно скорости v, получим

или, вводя относительные скорости

JVL;

акр ^кр акр

можно (4. 22) получить в следующем виде:

1

А + 1

Уравнение (4.22') в координатах ки, Xv изображается декарто­ вым листом (рис. 4.7). Однако ветви гипоциссоиды (точка Ег) для течений со скачками уплотнения физического смысла не имеют. Поэтому ударная поляра изображается кривой АВ, на которой

66

Ьтрёзок ОЁ2 соответствует — коэффициенту скорости за скачком уплотнения при Хн до скачка уплотнения и повороте потока на угол со. При этом скачок будет (располагаться под углом а к век­ тору скорости набегающего потока. Отрезок ОЕ\ соответствует Я1, за сильным косым скачком уплотнения, который переводит поток в дозвуковой. В приложении к задачнику дана ударная поляра для воздуха, которой можно пользоваться при расчете течений с косы­ ми скачками уплотнения (см. рис. 7.4).

§ 3. СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С НЕПРЕРЫВНЫМ УВЕЛИЧЕНИЕМ СКОРОСТИ

Сверхзвуковое течение газа с непрерывным увеличением ско­ рости называют течением Прандтля-Майера, течением вокруг внешнего тупого угла. Исходными уравнениями для решения за­ дачи о течении вокруг внешнего тупого угла являются уравнение

В данном конкретном случае, когда радиусом-вектором являет­ ся характеристика, уравнение неразрывности упрощается, так как параметры потока вдоль характеристик остаются неизменными, поэтому производные по радиусу рав­ ны нулю и тогда

Так как поток до поворота рассматривается потенциальный, после поворота потенциальность течения сохраняется, следователь­ но, и на участке поворота поток должен быть потенциальным, для которого циркуляция Г — 0. Тогда из (4.24)

и решая совместно (4.23'), (4.24'), (4.25) и (4.26), получим зна­ чение скоростей wr и w„ в зависимости от угла поворота характе­ ристики <р. А приняв за начало отсчета углов гр характеристику при М — 1, освободимся от постоянной интегрирования и получим

Wr — Wmax

(4.27)

Wn / т г г С05( / k -f- 1

Из этих двух уравнений после небольших преобразований мож­ но получить

(4.28)

*! = 1+ Т Г Т

После этого все остальные параметры определяются по уравне­ ниям (1.22), (1.32'), (1.33'). Из уравнения (4.28) при ^==Я.та*

можно определить значение максимального угла поворота харак­ теристики фшах

Из картины обтекания внешнего тупого угла можно получить зависимость для угла поворота потока

Так как при к ==?vmax и — 0, следовательно, максимальный угол поворота потока будет отличаться от максимального угла поворота характеристики на 90°

68