Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Г л а в а IV. ТЕЧ ЕН И Е ГАЗА СО СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ И Н ЕП РЕРЫ ВН О Е РАСШ И РЕНИ Е СВЕРХЗВУКО ВО ГО ПОТОКА

§ 1. ТЕЧЕНИЯ СО СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ

Из уравнения энергии для течений со скачками уплотнения сле­ дует, что вдоль линии тока

I. Основное динамичское соотношение и ударная адиабата. Из уравнений количества движения, неразрывности и теплосодержа­ ния для струйки тока, решая их относительно давления и плот­ ности, получим основное динамическое соотношение

здесь и в дальнейшем индексом н обозначены параметры невозму­ щенного потока до скачка уплотнения, а индексом 1 — состояние газа за скачком уплотнения.

Если уравнение (4.2) решить относительно плотности — , то

Рн

получим уравнение ударной адиабаты

В отличие от идеально-адиабатического процесса, в котором с ростом давления р\ плотность pi растет неограниченно, в ударноадиабатическом процессе рост плотности ограничен. Так, при

Pi —>- оо

55

Это объясняется более интенсивным ростом температуры Тх в ударной волне по сравнению с идеально-адиабатическим про­ цессом.

2. Основное кинематическое соотношение для прямой ударной волны. Основное кинематическое соотношение устанавливает связь между значениями скорости до и после скачка уплотнения.

Принимая площадь струйки до скачка и за скачком одинако­ вой и пользуясь уравнениями неразрывности, количества движения, теплосодержания и уравнением состояния, можно получить простое и удобное для практических расчетов выражение

. В безразмерном виде через коэффициент скорости X основное кинематическое соотношение приобретает особенно простой вид

Из этого уравнения видно, что в прямом скачке уплотнения сверхзвуковая скорость потока до скачка всегда переходит в до­ звуковую скорость после скачка уплотнения.

3. Уравнения для определения давления, плотности и темпера­ туры в прямом скачке уплотнения. Решая совместно уравнение количества движения и основное кинематическое соотношение, можно найти формулу для прироста статического давления в прямой ударной волне

Уравнение для определения прироста плотности в скачке уплот­ нения получим из уравнения неразрывности с использованием основного кинематического соотношения

Рн

Кстати, из этого уравнения также следует, что максимальный

прирост плотности получается при Х-»-Хтах. Так как Хтах=г

У k — 1

получаем (4.3'). Если коэффициент скорости Л заменить через число М, то

86

Записывая уравнение теплосодержания до скачка и за скачком уплотнения, получим формулу для прироста температуры в’ударной волне

k + \

ры с приростом давления

Если (4.7') сравнить с аналогичной записью прироста темпера­ туры в идеально-адиабатическом процессе, где

идеал - №\ Р н /

то становится очевидным утверждение, что при одинаковом повы­ шении давления в ударной волне и в идеально-адиабатическом процессах повышение температуры в скачке уплотнения будет боль­ ше, чем в идеально-адиабатическом процессе.

4. Потери полного давления в скачке уплотнения. Ударно-адиа­ батический процесс совершается с ростом энтропии, т. е. с не­ обратимыми потерями. Используя определение энтропии и уравне­ ние эрерпии, получим для скачка уплотнения

Поскольку все энергетически изолированные реальные процес­

сы протекают с ростом энтропии, поэтому р\ < /? н. Количественно уменьшение полного давления в ударной волне можно подсчитать, если записать уравнение Бернулли до скачка уплотнения и за скач­ ком уплотнения; поделив первое уравнение на второе и используя (4.5), получим

57

Отношение полных давлений в скачке уплотнения называют коэффициентом давления с. Эта величина служит основной мерой

потерь в ударной волне а = ~ . Практические расчеты по уравне-

Рп

нию (4.9) можно значительно облегчить, используя газодинами­ ческие таблицы. Уравнение (4.9) можно записать через приведен­

ный расход q (X) (1.4)

*

а ( К )

(4.9')

Р»

§ 2. ТЕЧЕНИЯ С КОСЫМИ СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ

Основное динамическое соотношение (4.2) и вытекающее из него уравнение ударной адиабаты (4.3) одинаково применимы как для течений с прямой ударной волной, так и для косых скачков уплотнения, поскольку в эти уравнения входят скалярные величи­ ны, характеризующие параметры состояния во всей области течения до скачка и за ним. Если вектор скорости набегающего потока разложить на нормальную к фронту скачка скорость ш|1я и тангенциальную составляющую скорости wt , лежащую в плос­ кости скачка уплотнения (рис. 4.1), то легко видеть, что косой скачок уплотнения можно рассматривать как прямой скачок уплот­ нения по отношению к скорости ш„„, который сносится вдоль фронта скачка со скоростью wt. Из кинематики косого скачка уплотнения видно, что скачок располагается под углом а к вектору скорости набегающего потока w„ , поток в скачке поворачивается на угол (о, а угол между вектором скорости Х0г и фронтом скачка (5 имеет величину

Рис. 4. 1. Схема течения с косым скачком уплотнения

В косом скачке уплотнения разрыв претерпевает нормальная составляющая скорости, что приводит к изменению скорости за скачком Ш] по величине и направлению.

58

1. Основное кинематическое соотношение и температура частич­ ного торможения. С помощью уравнения неразрывности можно показать, что тангенциальная составляющая скорости, лежащая в плоскости скачка уплотнения, остается одинаковой как в проекции от скорости wH, так и в проекции от скорости w\. Нормальные же

ния можно записать так же, как и для прямого скачка уплотнения,

где акрп— критическая скорость звука по нормали к фронту скач­ ка, которая определяется по так называемой температуре частич­ ного торможения.

Уравнение теплосодержания в соответствии с (4.1) можно записать

К

Любой из _этих двучленов определяет температуру частичного торможения. Используя (4.12), найдем критическую скорость звука по температуре частичного торможения

получим основное кинематическое соотношение для косого скачка уплотнения

^Ня^1л =

Коэффициент скорости Я„„ можно выразить через параметры набегающего потока и угол скачка а

59