Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Скачать файл (7,80Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


	Для	газов in паров широко				используется	степенная формула
				ц =	цо					(5 .2 )
где	п — показатель			степени, имеющий разные численные					значения
от	0,5	до	1. Д л я	воздуха	принимают n =		0,76,	a (,i0 =		17,2 X
X	10“fi н		сек>!м2 (1 ,7 5 5 -10-6 к г - с е к / м 2) . Н иже				приводится		таблица,
даю щ ая		представление о (Величине коэффициента						вязкости		р для
некоторых жидкостей (табл. 2).							вязкости р		к	плот
	Отношение динамического				коэффициента
ности		жидкости р		называется		кинематическим		коэффициентом

вязкости

__ р_ м2

рсек

2.Уравнение Навье-Стокса. Уравнение неразрывности в рав ной мере справедливо как для идеальной, так и для реальной жидкости. Что же касается уравнения Эйлера (1.34), то оно долж но быть изменено, причем изменению подвергаются только поверх ностные силы, а силы инерции и массовые силы остаются без изме нения. Наличие сил вязкости приводит к появлению касательных напряжений. Нормальные напряжения состоят из суммы гидро динамического давления и некоторой добавки, вызванной вяз костью. Приравнивая силы инерции сумме массовых и поверхност ных сил, получим

dWx		X \|	1 ( дРхх \|		дХух \|	дТгх\ ;
dt			р \	дх	ду	дг	I ’
d®!/	_	у I	1 /	dxxy .	друу	дхгу	(5.3)
dt			р V	ду	ду	d z
dwz	_	z .	1 l	dxx2	dx„z	dpzz \ _
dt			p \	дх	d y	d z	)
В уравнениях		(5.3)	,в	силу	парности	хху — хух\ хуг — тгу;

ххг — тгх. . Отсюда следует, что напряженное состояние жидкости в любой ее точке характеризуется тремя нормальными ,и тремя каса тельными напряжениями. Используя гипотезу о том, что напряже ния, вызванные вязкостью, пропорциональны соответствующим скоростям деформации, получим уравнение движения вязкой жидкости, или так называемое уравнение Навье-Стокса

d w x		1	dp		1	d	(div до);
d t		P d x		-f W w x + 3 d x			(div до);
d t		P d x		-f W w x + 3 d x
dWy	— V	1	dp	+ vyWy + ■1		d	(div до);	(5 .4 )
d t		P	dy		3	dy
d w z	— 7	1 dp		+ vywz +	1	d	(div до).
d t		P	dz	+ vywz +	3	dz

В этих уравнениях
d2w	ду2 +	д2ъиг	и т. д.
dx2		~dz2~	и т. д.
dx2		~dz2~

Уравнения (5.4) справедливы для ламинарного потока сжимае

мой жидкости. Для несжимаемой жидкости divm =						0 и уравнение
Навье-Стокса упрощается:
dwx	х	1	dp	+	vyoy,
dt		P	dx
1 -> II * тз		1	dp	+	vyay,	(5. 5)
dt		P	dy
dw, _	z	1	dp	+ vywz.
dt		P	dz

В общем виде уравнения Навье-Стокса не интегрируются. Од нако существует несколько конкретных задач, для которых урав

нение Навье-Стокса имеет решение.							несжимаемой жидкости в ци
3.	Ламинарное	течение			вязкой		несжимаемой жидкости в ци
линдрической трубе. Направив ось						х	вдоль оси трубы, можно
утверждать, что скорость			жидкости везде					направлена	по оси х
и является функцией только радиуса трубы г; у и z — компоненты
уравнения (5. 5) дают
		d p		d p		_.Q
		dy		dz
т. е. давление по радиусу трубы постоянно;
х — компонента уравнения			(5.5) дает
	d*w			d*w	___1		dp		(5.6)
	ду2			dz2		jj.	dx		(5.6)
	ду2			dz2		jj.	dx
Так как левая часть уравнения от х							не зависит, следовательно,
			- ^ - = const
			dx
и градиент давления можно записать в виде
			Ар =		P i	— p2
			I			I
Запишем уравнение (5.6) в полярных координатах
	1	d	/	dw\ _			Ар
	г	dr	\	dr )			р/
Интегрируя, получим
	w = — - ^ r 2+					C,lnr +		C2.	(5.7)
			4р/

6 m

Постоянную Ci надо положить равной нулю, так как скорость должна оставаться конечной по всему сечению трубы, включая и ось. Постоянную С2 найдем из условия при r = R; w ~ 0. Тогда получим

w = Bl—	2— г*).	(5.8)
4р./

Расход жидкости через трубу

Q = 2тс р J rwdr;

с помощью (5. 8) получим

	Q »	Р '- P L „я*.	(5.9)
		8,л/
Полученное выражение называется формулой Пуазейля.
Из (5.8)	при г = 0 найдем скорость на оси трубы
	ш 0 =	P l~ P * -R*.	(5.10)
		4р./
Скорость	по сечению трубы можно записать через скорость
на оси
	W		(5.11)

Если записать объемный расход жидкости через среднюю ско

рость, то, используя (5.9) и (5.10), получим
^ с р ^ - ^ о -	(5.12)

4. Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости между параллельными плоскостями. Рассмотрим установившееся движе ние несжимаемой жидкости в направлении оси х между двумя параллельными пластинами. Все величины зависят, очевидно, толь ко от координаты г, направленной поперек зазора между пласти нами.

Пренебрегая массовыми силами, из уравнения Навье-Стокса (5. 5) получим

дгтх	да	\	(5. 13)
[х-----£- =	—	\	(5. 13)
дг2	дх

кроме того,

ду дг

Левая часть (5.13) от х не зависит, следовательно,

= const.

	дх
Интегрируя дважды	(5. 13), получим
w,	1	др z2+ C\Z -J- С2.	(5.13')
	2(j.	дх

Постоянные интегрирования Сi и С2 найдем из граничных усло вий: при z = 0; wx— 0, следовательно, С2= 0; при z — /; wx — 0, найдя С|, имеем

wx— -----— г (I — z) —В.

(5. 14)

2р

дх

Как видно, скорость в зазоре изменяется по параболе, причем

при z = — l получим

максимальную скорость движения

жидкости

8р

*£-

(5.15)

дх

Уравнение (5.14) дает возможность определить объемный рас

ход через единицу ширины зазора

Q =

др

(5.16)

12р

дх ’

Из (5. 16)

можно

найти

выражение

для

средней

скорости

в зазоре

др

.. ]7.

шср = ——— — .

(5.17)

12;i

дх

Уравнения

(5. 13)

(5. 13')

справедливы

также

для случая,

когда одна из пластин движется в направлении оси

со скоро

стью V.

В этом случае

граничные

условия

для

определения

постоянных интегрирования С\

и Сз будут иными. Так,

при z = 0, •

wx= 0 и

С2 — 0; при z = l,

wx = v, откуда,

найдя Си получим

Wx =

др

(5.18)

--- V ---------Z (I — Z ) -----

2(1

дх

Расход жидкости в этом

случае на единицу ширины пластины

др

(5.19)

—

Q — — v

-------------:— — .

12)1 дх

Уравнения (5. 13) — (5.19 справедливы не только для плоских пластин, но и для криволинейного зазора если зазор существенно меньше радиуса кривизны (/ <^R). Приведенные уравнения яв-

ляются исходными для развития гидродинамической теории смазки подшипников. Необходимо при этом иметь в виду, что в подшип

нике =£ const. Уравнение (5.19) в приложении к подшипнику

дх

справедливо также для сечения, где давление в слое экстремально

(	= 0j , тогда, обозначив это сечение через /о,		получим
	Q =	/п ■V.	(5.20)

Решая совместно (5.19) и (5.20), найдем уравнение для гра диента давления

дх	6ц - — l± v .	(5.21)
дх	Р ■

Это уравнение называется уравнением Рейнольдса и обычно используется для приближенного исследования смазочного слоя подшипника (подшипник безграничной ширины). Для подшипника конечной ширины уравнение Рейнольдса

Уравнения (5.21) и (5.18) дают возможность найти

— v [ - j-----3z (I — z)

j .

(5.23)

5. Движение шара в вязкой жидкости. В качестве следующег примера на интегрирование уравнений Навье-Стокса обычно при водится решение задачи о движении шара в вязкой жидкости. Задача решается в том случае, если инерционными членами и массовыми силами в уравнении (5.5) пренебречь. Удобнее задачу решать в сферических координатах. При этом надо иметь в виду, что шар при своем движении не должен вращаться. В результате интегрирования уравнений движения получим формулу для силы сопротивления шара

Q = -^-jt/?3p g -\|-6 np,./?aj.	.(5.24)
О

Первый член правой части уравнения (5.24) представляет собой архимедову силу, получающуюся за счет гидростатического давле ния. Второй член появляется только при движении жидкости и

обусловлен		силами вязкости.	Так	как	сила	Q уравновешивается
весом			4		где ро— плотность шара,
	шара, который равен— nR3pog,
то из	(5.24)	получим	3

		=	- у R*g (Ро— р).			(5.25)
С	помощью (5.25) можно			определить		вязкость жидкости

(вискозиметры с подающим шариком), при известной вязкости и скорости можно определить радиус капельки. При известной вяз кости можно определить скорость движения капелек заданного размера. (5.24) называют формулой Стокса, которая справедлива при R e< 1.

6. Сопротивление при турбулентном режиме течения. Турбу лентный режим течения отличается от ламинарного тем, что пере нос количества движения из одного слоя жидкости в другой осу ществляется не только за счет молекулярного движения, а главным образом за счет перехода отдельных частиц, объемов жидкости из одного слоя в другой. Этот перенос из одного слоя в другой осу ществляется за счет наличия пульсационных составляющих ско

рости W(, Wy, хюг.	турбу
Из уравнения количества движения можно определить	турбу
лентное напряжение трения между слоями жидкости
тх — — р w xw'y.	(5.26)

Пульсацию-скорости можно записать через градиент средней скорости и длину пути смешения /'

wx = dwx V. dy

Предполагаем, кроме того, что турбулентность изотропная, т. е. такая, при которой средние значения квадратов пульсационных скоростей одинаковы во всех направлениях