Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 1. 12. К выводу уравнения неразрывности и сфе­ рических координатах

Рис. 1. 13. К выводу уравнения неразрывности в цилиндричес­ ких координатах

Рис. 1. 14. Радиальное изотерми­ ческое течение

3 тег

33

х — — 1.

Определить скорость в начале

координат, а такж е

в точ-

 

1

г/ =

п

 

1

 

о

 

 

 

 

ках х = -------;

0 и х =

— ; и — 0.

 

 

 

 

1.116.

2

 

 

 

2

 

 

1.115

найти

координату на ос

 

Для условий задачи

х(/у = 0),

где скорость потока

равна нулю

и где

скорость

макси­

мальная.

117.

Для условий задачи

1. 115 найти координату вдоль оси

I.

где скорость максимальна

и

характер изменения скорости вдоль

оси у (при х = 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

состав­

1.118. Найти уравнение линии тока потока, заданного

ляющими скорости wx — a\

wy= b \

wz — c,

где а, b, с — постоян­

ные величины

[2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

119. Найти уравнение линии тока и характер движения пот

ка, заданного составляющими скорости

 

 

 

 

 

Q

х

 

 

 

 

 

Q

 

у

 

wx — —----------------------- ;

w„ = —----------------------- ;

 

 

4- (х2+ У2+ z2) "

 

4те

(х2+

у2+ z2) "

 

 

 

 

 

Q

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

w, — —

----------------------- ,

 

 

 

 

 

 

4те

(X2+ у2+ Z2) "

 

 

где объемный

расход Q

и

показатель

степени

« — постоянные

величины

[2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.120.

Найти уравнение линии тока и характер движения пото­

ка, заданного составляющими скорости

 

 

 

 

wx

Г

У

 

 

w„ =

Г

 

 

W„ = 0.

 

 

 

 

2т: х2-f- У2

 

 

 

2т. х2+ у2

 

 

 

 

 

где циркуляция Г =

const

[2].

 

 

 

 

 

 

 

1.121.

Найти уравнение линии тока, характер течения и величи­

ну скорости потока,

заданного составляющими скорости

 

 

 

Q

x

 

w y =

 

Q

у

; wz= 0.

 

 

w x — — -------------- ;

— ---------—

 

 

 

2- х2+ у2

 

 

 

2 т х2+ у2

 

 

где объемный расход Q =

const

[2].

 

 

 

 

Г л а в а II. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Изменение параметров газового потока зависит от формы кана­ ла, по которому движется газ, от того, как меняется расход газа по длине канала, от теплового воздействия на газ при его движе­ нии, от величины и знака механической работы и от работы сил трения. Связь между параметрами потока и возможными воздей­ ствиями на него можно получить, если использовать:

уравнение состояния

dp = d(pRT)\

уравнение расхода

dG = d(pwF)\

уравнение движения

— + wdw -f- dL-\- dLTp = О

Р

и уравнение энергии

dQ = dU + d ( ^ - ' jS + d ( ^ ~ P j+ d L ,

где Q — тепло, подводимое к газу извне.

 

потока w,

Приведенные уравнения содержат пять параметров

р, р, Т, U и пять независимых воздействий на поток F,

G,

Q, L, LTP.

Используя четыре уравнения, можно исключить 4

выбранных

параметра и получить зависимость пятого параметра от воздейст­ вий на поток. Например, исключая р, р, Т, U, получим зависимость

w от F,

G, Q, L и 1 тр,

или

исключая w, р,

Т, U, получим зависи­

мость

р от F, G, Q, L,

L Tр

и т. д. Ниже

приводится полученное

таким образом уравнение, связывающее скорость в зависимости от различных воздействий на поток,

dw (М‘ — 1) =

dF_

dG

dQ-----L d L - \ d L Tr (2.1)

w

F

G

a 3

a 2

Из этого общего уравнения можно получить частные уравнения для течения с каким-либо одним воздействием на поток. Так, если

3*

35

имеется

канал

пёрёменного

сёчейий с

постоянным

расхоДои!

(dG = 0),

при отсутствии

внешнего теплоподвода (dQ — 0), когда

газ при своем

движении

не

совершает

механической

работы

(dL — 0),

а работа трения

не учитывается

(<71тр = 0), то получим

уравнение для

геометрического воздействия

 

 

 

 

—

 

(М*

1) = — .

 

 

 

w

 

 

 

F

 

Аналогичным

образом

получаем

уравнение

для

расходного

сопла

 

 

 

 

 

 

 

dw ,,. „

- 1) =

dG

»

 

 

----

М2

Т-

 

 

W

 

 

G

 

для теплового сопла

£ 1

1) = -

,

dQ\

 

 

°1-

 

 

 

 

со

 

к — 1

АГ.

 

 

W

 

 

 

а1

 

для

механического сопла

 

 

 

 

 

 

 

* " (М >-

1) = -

— dL

 

 

 

W

 

 

 

СГ

 

и для трубы с трением

 

 

 

к ..

 

 

 

dw /иг

 

 

 

 

----(М2-—

1) = -

« dL'-rp'

 

 

W

 

 

а2

 

(2. 2)

(2. 3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Уравнения (2. 2) — (2. 6) дают возможность проанализировать, как влияет каждое из воздействий на скорость газового потока в дозвуковой и сверхзвуковой областях. Количественные соотноше­ ния можно получить интегрированием уравнений (2. 2) — (2. 6).

Для геометрического сопла справедливы уравнения гл. I. Для теплового сопла расчетные уравнения легко получить из уравнения количества движения, уравнения неразрывности, уравнения состоя­ ния и уравнения Бернулли. Так, из уравнения количества движе­ ния, записанного для цилиндрической трубы идеального газа

/>2 + Р2^2 = /> l + PlO»j,

легко получить соотношение для давлений в тепловом сопле

/л, _ 1 |- Ш |

(2.7)

Ох 1 !-Ша

или через коэффициент скорости к

Pt

_

1 - R ? 7'0-^

(2.7')

Pi

 

1+ ki т 0-г)

 

 

36

По определению, М *= --------

. Используя это уравнение, а такж е

к-Р-

Р

уравнение неразрывности и (2.7), получим соотношения для ско­ рости и плотности в тепловом сопле

w l M j(l-| M l)

(2 8)

ЩМ?(1+/гМ^)

или через коэффициент скорости к

'Wj

'-2 (1 ~f~ ?ч)

__ k2z{k\)

 

>ч(1+ kl)

k,z(k2)

Используя уравнение неразрывности, получим

Р2 _

'ч ( 1Ч~ ^2) _ ^(^2) 'ч

(2.9)

Pi

>-2 (1 Я?)

 

Уравнение для определения температуры в тепловом сопле по­ лучим из уравнения состояния, в котором давление и плотность найдем с помощью (2.7') и (2.9)

Л =

'-2(1 +

к Ь гГ ( к ,)

_

Г г ( Ы ’ ММ)

( 2. 10)

Ti

>-? (1 Ч- Я1)2 7'(>»1)

 

Т{к1)

 

 

Аналогичное уравнение можно получить через число М.

при

Как известно, полное

давление в цилиндрической

трубе

наличии подогрева

уменьшается

за

счет неадиабатичпости

про­

цесса. Уравнение для отношения полных давлений получим, использовав уравнение Бернулли для каждого сечения и (2.7')

А - о И л )р ('-|) _

(2.П )

р\ (1 -н Я.Я) р (Я.2)

Отношение полных давлений называется тепловым сопротивле-

р2

нпем —— — л,. . Максимальные потерн полного давления, или а,|П|П,

Р *

1

и ?„i — 0.

 

 

получаются при h2=

 

 

Зависимость для

определения скорости газового потока от

подогрева найдем из

уравнения теплосодержания

с использова­

нием (2. 10)

 

 

z(h)

 

I 2

_

'-2 (1 А.|)8

(2. 12)

т\

~

х?(1 ч-я!)*

z ( X 2)

 

Как видно, наибольший подогрев можно осуществить при уве­ личении к2 до единицы, причем подогрев будет тем больше, чем

37

меньше скорость

в начале

подогрева.

Если в

(2. 12) положить

Л2= 1, то получим формулу для максимального,

или критического

подогрева

 

 

 

 

 

(1 + А?)2

4

(2. 12')

Гг

Крит

4Х*

 

Аналогичным образом из (2. 11) можно получить формулу для ми­ нимального значения ог . При 6 = 1 ,4 получим

(1 -j- A,i) р (Ai)

( Зт)т1 п

1,268

Работа сил трения на движение газа в цилиндрической трубе действует так же, как и подведенное к газу тепло, т. е. в дозвуковой области поток разгоняется, а в сверхзвуковой области — тормо­ зится.

Количественные соотношения для потока с трением можно по­ лучить, если в уравнении (2. 6) работу трения заменить с помощью уравнения Дарси — Вейсбаха

 

 

dLrр=+ w2 dx

 

 

(2. 13)

 

 

 

1 Г о

 

 

 

Кроме того,

так как рассматривается движение при dQ = 0, то

 

 

 

dw _

d'/-

 

 

 

 

 

 

W

А

 

 

 

Подставляя

полученные

соотношения

в

(2.6), заменяя при

этом число М через коэффициент скорости X, получим

 

 

dt.

 

 

6

dx

(2.14)

 

/.

 

 

6 + i

6- d " ‘

 

 

 

 

Полученное уравнение можно проинтегрировать, если предполо­

жить что | = const.

Это предположение справедливо для

шерохо­

ватых труб при

R e> 1 0 4. Интегрируя (2.14), получим

 

 

1

1

. Aj

2k

,

х

(2.15)

 

 

-------- In —

= ------------%—

.

 

 

 

х\

6 + 1

D

 

Если в (2. 15) положить Х2= 1, то получим уравнение для опре­ деления критической длины трубы, в которой при Ai на входе, в конце получится движение потока со скоростью звука

— + 1п К ? — 1

6 + 1

5— * .

( 2. 15')

/.?

D

 

38

Смотрите также файлы