Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

и для решения уравнении, описывающих проектируемую систему (интегро-дифференциальных уравнений, систем линейных урав­ нений), для вычисления многомерных определенных интегралов, расчета систем с вероятностными характеристиками и др. Схема применения ЛП-поиска при исследовании экстремальных задач в теории машин и механизмов показана на рис. 2.

Статистическое моделирование в диалоге «человек-ЭВМ» по­ зволяет построить процесс нахождения оптимальной модели проектируемой системы как итеративный.

Итерация модели может включать изменения: размерности вектора а (в ряде случаев это эквивалентно изменению числа степеней свободы), функциональных ограничений и ограничений на параметры. Итеративное построение модели предполагает ее усложнение в процессе эволюции структуры — от более простой, основанной на априорной интуиции проектанта, к сложной, ох­ ватывающей по возможности максимальное количество информа­ ции, противоречивых требований и множество ограничений. На первом этапе получают модель в первом приближении. Варьи­ руя параметры системы и различные физические условия ее^' ра­ боты, находят дополнительную информацию, которая позволяет существенно уточнить ранее сформулированные условия задачи. Если полученная на первом этапе модель удовлетворяет замыслу проектировщика, то процесс моделирования на этом заканчивается. В противном случае строят уточненную модель. Этот процесс продолжают до получения желаемых конечных результатов.

Укажем на следующие основные направления в диалоге «чело­ век-ЭВМ»: построение человеко-машинных процедур, учет не­ сравнимости критериев и снятие неопределенности в процедуре исследования гиперпространства поиска. Окончательное решение в формировании критериев и их весов после диалога «человекЭВМ», по-видимому, принадлежит проектировщику.

Трудности в принятии оптимальных решений связаны с необ­ ходимостью учета множества критериев, а также с неопределен­ ностью, возникающей при недостаточной информации о проекти­ руемой динамической системе. Предъявляемые к проектируемой модели требования часто имеют противоречивый характер. В этой связи и очевидно желание проектировщика при многокритериаль­ ной постановке получить компромиссное решение. К векторной оптимизации проектировщик может прийти после анализа одно­ критериальных задач: в результате статистического исследования задач скалярной оптимизации выявляются новые неучтенные факторы-критерии, которые желательно учесть на новой стадии проектирования модели.

Укажем на основные проблемы решения задач векторной оптимизации:

— определение области компромиссов, оптимальных по Па­ рето;

8

Р и с. 2

— выделение области компромиссов, осуществляемое кай на основании априорной интуиции проектировщика, так и в резуль­ тате обзора (квазиравномерного) пространства варьируемых па­ раметров статистическими методами;

—определение схемы компромисса (используются идеи аксиматического построения и эвристические идеи; в математическом аспекте проблема аналогична проблеме упорядочения векторных пространств);

—сведения множества критериев к единому масштабу изме­ рения (проблема возникает только в случае различных масшта­ бов измерения);

—определение схемы приоритета критериев, необходимого при оценке важности критериев (решение этой проблемы приме­ няется при уточнении схемы компромисса; оценка важности крите­ риев или их сравнимости является одной из трудных проблем векторной оптимизации и связана с отказом от аксиомы полноты, используемой при построении классической теории полезности).

Пусть заданы v=qJr m целевых функционалов <DV и Ф , где

Х=1» 2, . . ., q и y= 1, 2, . . .,иг, причем оптимизация последних допускает противоречия в выборе параметров.

Сформулируем компромиссный критерий качества в задачах структурного и топологического синтеза

указывает на степень близости (не превосходящей величины Ь) желаемой характеристики х для проектируемой модели к воз­ можному процессу у (t; а) на исследуемом множестве Т с некото­ рым весом 0 > 0.

Требование у {t\ a )f М является условием физической реали­ зуемости модели в классе функций М , удовлетворяющих требуе­ мым условиям в какой-нибудь из обычно рассматриваемых метрик, в том числе и ограничениям на фазовые координаты.

«Просмотр» пространства параметров ЛП-поиском позволяет более или менее равномерно просмотреть все множество вариан­ тов и гарантирует от какой-либо односторонней схемы «пробных вариантов» (при локальном подходе). При этом с ростом числа рассмотренных вариантов возрастает вероятность получения опти­ мального (глобального) решения задачи. Особенно эта вероят­

10

ность зависит от выбора тактики р-точек, из которых поиск луч­ ших моделей осуществляется локальными методами |1].

Тактика д-точек явилась важным результатом применения ЛП-поиска. Сущность ее состоит в том, что оптимизация целевых функционалов осуществляется одновременно по одним и тем же точкам Соболя (рис. 2), при этом на печать по m-\-q критериям качества выдают р лучших результатов. Естественно, с увеличе­ нием р возрастает и полнота информации для принятия решений. При этом проектировщик располагает также рядом локально­ оптимальных моделей. Информация, полученная при тактике p-точек, позволяет как при скалярной, так и при векторной опти­ мизации уточнить один или несколько заранее сформулированных критериев или предъявить к системе новые дополнительные тре­ бования. Одновременно усложняется поиск компромиссного (обобщенного) критерия.

Отметим две кардинальные особенности метода ЛП-поиск. Во-первых, он пригоден для решения практически всех инженер­ ных задач и для его применения требуются минимальные усло­ вия (по сравнению с другими методами): функция должна быть кусочно-непрерывной и конечной. Во-вторых, при разумном зондировании в условиях неопределенности и несвязанности пространства поиска указана тактика оптимального проектиро­ вания как исследования многомерного пространства и выбор ве­ сов в компромиссном критерии качества.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.И. М. Соболь, Р. Б . Статников. ЛП-поиск и задачи оптимального кон­ струирования. — Сб. «Проблемы случайного поиска», вып. 1. Рига, «Зинатне», 1972.

2.Г. Дресиг. Применение ЭЦВМ для отыскания оптимальных пара­ метров механизма портального крана. — Сб. «Анализ и синтез меха­

5.I. Oderfeld. A contribution to sequential analyses. — Zastosowania Matem atyki, 1968, IX , N 1.

6.Д. H. Решетов. Детали машин. Машгиз, 1963.

7.В. К. Гринкевич, Р. Б. Статников. Исследование статистическими методами влияния параметров динамической системы на спектр соб­

10.Б. Феррарис. Автоматический метод поиска оптимального значения функции. Пер. с итальянского. М., ВИНИТИ, 1970.

И

ОПРИМЕНЕНИИ ЛП-ПОИСКА

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА АВМ

В. П. Гусев, В. И. Сергеев, И. Н. Статников

Непрерывно усложняющиеся структура и функции современ­ ных машин и механизмов существенно затрудняют их исследова­ ние и тем самым решение задач, связанных с их оптимальным проектированием. В настоящее время благодаря наличию универ­ сальных вычислительных машин стало возможным разрабатывать разнообразные методы исследования и оптимизации сложных ди­ намических систем. При этом широкое применение находят ме­ тоды статистического моделирования, в том числе разработанный в последние годы детерминированный аналог метода МонтеКарло — метод ЛП-поиска [1].

Сущность этого метода состоит в следующем. Задается квази­ равномерно распределенная числовая последовательность — ЛПТ-

С помощью пробных точек Qi осуществляется квазиравномерный просмотр целевой функции Y (х) в области ее существования U по «-координатам. Здесь х —«-мерный вектор, координаты кото­ рого — варьируемые параметры исследуемого объекта, т. е. сам вектор х характеризует одно из возможных сочетаний параметров модели объекта. Из соотношения (1) определяется оценка сходи­ мости ЛП-поиска, справедливая при всех N [2]

| s N (U) — NV (U) | < с («) ln'W,

где с — константа.-

При математическом моделировании исследуемой системы на универсальных вычислительных машинах вопрос сводится к раз­ работке методики планирования эксперимента. Известно [3], что наиболее трудным является случай, когда целевая функция Y (х) априорно не может быть задана.

При постановке таких задач на АВМ целесообразно приме­ нять разработанные положения ЛП-поиска. Полученная при этом информация может быть успешно использована на последую­ щих этапах расчета для предварительной оценки целевой функции. Эго позволяет при решении последней объективнымЛ1утем подойти к выбору того или иного метода оптимизации (в том числе ЛП-

12