Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Д. С. Борисов, Б, И. Павлов, И. Т. Чернявский

Вработе [1J построена дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержней постоянного сечения, пред­ ставляющая цепочку одинаковых масс и пружин. Поведение каж­ дой из масс этой модели описывается уравнением

d^y• . 4EI , , ч , Ч1

+ -фГ КUi — У,-1) — (Ут — ;/,•)] —

( 1)

где р и к — соответственно плотность и длина отдельных участков, на которые разбивается стержень. Учитывая, что рк=т, где т — масса участка стержня длиной к, уравнение (1) можно переписать в виде

Различным граничным условиям закрепления стержня соот­ ветствуют определенные законы движения двух крайних масс системы (2). С увеличением числа масс дискретной модели ее соб­ ственные частоты приближаются к собственным частотам стержня как распределенной системы [2]. С помощью дискретной мо­ дели (2) удалось вскрыть ряд характерных особенностей, связан­ ных с поведением стержней при продольном изгибе [3], и полу­ чить новое уравнение, описывающее поперечные колебания стержня с учетом внутреннего демпфирования [4].

В данной работе приводится дискретная динамическая мо­ дель поперечных колебаний стержней переменного сечения, позволяющая с помощью ЭЦВМ с достаточно высокой точностью определять собственные частоты и собственные формы колебаний стержней произвольного поперечного сечения и производить рас­ чет вынужденных колебаний и переходных процессов в подобных системах.

Построение модели. Имеем стержень, поперечное сечение которого по длине изменяется по произвольному закону (рис. 1 , а). Для построения дискретной динамической модели подобного стержня поступаем следующим образом.

1. Разбиваем весь стержень по длине на п одинаковых участ ков; считаем, что на каждом из участков длиною Ип стержень имеет постоянное сечение, равное сечению в середине каждого участка, а его жесткость принимаем равной EI

20

2. Полагаем, что масса т{ каждого участка с постоянным поперечным сечением сосредоточена в середине этого участка.

3.Для построения системы уравнений, подобной (2), прини­ маем характеристику упругой восстанавливающей силы, дейст­ вующей между двумя соседними массами дискретной модели, равной полусумме жесткостей рассматриваемых участков.

4.Характеристика антивосстанавливающей упругой связи [3], действующей между каждой i-й и (£+2)-й массами дискретной модели, принимается равной жесткости (t-(-l)-ro участка стержня.

Используя указанную выше методику, стержню с произволь­ ным поперечным сечением (рис. 1, а) может быть поставлена в соответствие дискретная динамическая модель (рис. 1, б), по­ ведение каждой массы которой будет описываться уравнениями

и уравнения (3) преобразуются в уравнения (2).

Граничные ' условия. Различным граничным условиям за­ крепления концов стержня соответствуют определенные законы

21

движения двух первых и двух последних масс дискретной модели стержня (3).

В случае свободного, например, первого конца стержня движе­ ние двух крайних масс дискретной модели подчиняется урав­

При шарнирном закреплении, например, левого конца стержня крайняя левая масса дискретной модели (обозначим ее т0) будет жестко закреплена, т. е.

Поведение соседней массы пг1будет описываться уравнением

Случаю жесткой заделки конца стрежня соответствуют сле­ дующие законы движения двух крайних масс дискретной мо­ дели:

Уравнения, аналогичные (4), (5) и (6), можно записать и для других граничных условий поперечных колебаний стержня.

Поведение любой из масс дискретной модели (3) с использова­ нием уравнений, описывающих поведение двух крайних масс, полностью определено.

Дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержня (3) позволяет свести анализ динамики стержня к ис­ следованию на ЭВМ системы обыкновенных линейных дифферен­ циальных уравнений с постоянными коэффициентами, что даже для систем высокого порядка достигается значительно проще, чем решение одного уравнения в частных производных.

Расчет собственных частот и собственных форм колебаний конического стержня. Рассмотрим поперечные колебания консольно закрепленного конического стержня (рис. 2, а). Для собственных частот такого стержня известны точные выражения [5], полученные с помощью функций Бесселя

22

где г и I — радиус основания и длина (высота) конуса, р и Е — плотность и модуль упругости конического стержня. Для первых собственных частот поперечных колебаний конуса коэффициент

цепочку масс и пружин (рис. 2, б), поведение каждой массы кото­ рой описывается уравнениями (3) с учетом выражений (4) и (6).

В случае Е = о = к = 1 и г = 21 система уравнений, описы­

+ 40000 (!/4 — уг) = 0, 708у3 + 212000 (у3— у2) — 124800 (у4 — у3) — 66000 (у3 — г/,) +

+ 22400 (у5— у3) = 0, 530у4+124800 (у4— у3) — 68700 (у6— у4) — 40000 (у4— у3) +

78,7j78 —f-4760(ys — г/,) — 1107 (уя — ys) — 1890(г/8 — г/6) + + 63,5 (ую— г/8) = 0,

28,3^+1107 (уд — у3) — 127 (г/10 — уя) — 490 (у3 — у7) = 0,

ЗД4j/10 + 127 (у10 — ув) — 63,5 (уп — у3)= 0.

Разделив каждое из слагаемых в уравнениях (8) на коэффициенты при соответствующих вторых производных, получим квадратную (10 X10) пятидиагональную матрицу

23

Собственные числа и собственные формы матрицы (9) характери­ зуют собственные частоты и формы колебаний дискретной модели конуса (8). Была составлена программа для расчета на ЭЦВМ «Минск-32» собственных чисел и форм пятидиагональных матриц вида (9) произвольного (до восьмидесятого) порядка. На расчет собственных чисел и форм матрицы (9) было затрачено 2,5 мин машинного времени. В таблице приведены пять первых собствен­

Сравнительный анализ собственных частот дискретной десяти­ массовой модели и конуса как распределенной системы показы­ вает, что с помощью десятимассовой модели первые три собствен­ ные частоты определены с точностью до пяти процентов, причем численные расчеты по указанной выше методике дают несколько заниженные значения собственных частот в противоположность приближенным методам Рэлея—Ритца, дающим завышенные зна­ чения собственных частот. Относительно большая погрешность значения первой собственной частоты обусловлена погрешностями, которые имели место при составлении матрицы (9). Числа этой матрицы были получены с помощью логарифмической линейки.

На рис. 3 приведены графики первых трех собственных форм (At., i = 1, 2, 3, у{ = A i sin р£) десятимассовой модели конуса. Аналогичные результаты были получены и при анализе собствен­ ных частот и форм колебаний для консольно заделанного стержня в виде клина. С помощью десятимассовой дискретной модели клина было найдено, что отношение первых трех собственных частот консольного стержня имеет вид: 1 : 2,61 : 5,11. Напом­ ним, что отношение первых трех собственных частот консольного стержня постоянного сечения равно: 1:6,29:17,7.

Используя указанную выше методику, можно производить расчет собственных частот и форм поперечных колебаний стержня любой конфигурации.

Анализ результатов расчетов, выполненных по разработан­ ной методике, показывает, что их точность не зависит от абсолют­ ных длин участков, а определяется числом участков, на которые разбивается стержень.

25