Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

тие А). В силу центральной предельной теоремы теории вероят­ ностей (которую здесь можно взять в форме теоремы А. Я. Хин-

Иными словами, погрешность метода вероятностного модели­ рования при вычислении вероятности события А имеет порядок

8 ~ 1jsjN • Отсюда видно, что уменьшение ошибки 8 приближен­ ного решения задачи методом вероятностного моделирования связано со значительным увеличением числа испытаний N , а зна­ чит и с увеличением времени вычислений, например, увеличе­ ние точности на порядок приводит к стократному удлинению времени решения задачи.

При решении ряда задач точности механизмов и прикладной метрологии [1—4] на основе метода статистического моделиро­ вания для удовлетворения требуемому уровню точности оказыва­ лось достаточным N = 1000, чему соответствовало вполне при­ емлемое машинное время вычислений. При исследовании эффек­ тивности двухступенчатого автоматического контроля размеров изделий [5] требуемая точность метода достигалась за счет увели­ чения количества реализаций до N = 10 000. Возросший объем количества реализаций потребовал существенного увеличения машинного времени решения задачи, в связи с чем встал вопрос о повышении быстродействия вычислений. Решение этого вопроса оказалось возможным благодаря применению более произво­ дительных методов имитации случайных величин, в частности, нормально распределенной случайной величины.

При моделировании нормального закона распределения, кото­ рому достаточно часто подчинены случайные параметры, учиты­ ваемые при решении задач точности механизмов и прикладной метрологии, как правило, пользуются центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой сумма боль­ шого числа слагаемых при выполнении достаточно общих условий имеет асимптотически нормальное распределение. В качестве случайных слагаемых выступают случайные числа St., равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. После соответствующей норми­ ровки суммы щ слагаемых получаем величину

являющуюся асимптотически нормально распределенной случай­ ной величиной с математическим ожиданием, равным 0, и сред­ ним квадратическим отклонением, равным 1.

112

Образование нормальных чисел методом суммирования щ рав­ номерно распределенных случайных чисел при малых щ не дает полного эффекта, так как последовательность таких сумм при ма­ лых п0 не удовлетворяет критериям «нормальности». Для ре­ шения указанного выше класса задач целесообразно щ = 10.

Значительный эффект увеличения быстродействия имитации нормальных чисел по сравнению с методом имитации их по фор­ муле (2) дало применение метода композиции [6] с использова­ нием различных приемов моделирования для разных частей рас­ пределения. Представим плотность / (у) нормального закона

распределения по формуле полной вероятности

где H( z ) =P( v ^ z) — интегральная функция распределения слу­ чайного параметра v; f(y/z) — условная плотность вероятности. Из формулы (3) следует, что нормально распределенную случай­ ную величину 7] можно имитировать в соответствии с плотностью /(y/z), получив предварительно реализацию z параметра v.

Нами был использован непрерывно-дискретный вариант (3),

при котором фигура единичной площади, ограниченная осью у и кривой /^(у), разбивалась на три непересекающиеся части с пло­

щадями р { (см. рисунок). Основной принцип разбиения (4) заклю­ чался в том, что часть I, определяемая отрезком [а, Ь] на оси у и имеющая наибольшуюплощадь (наибольшую вероятность р г),

должна соответствовать наиболее просто и быстро имитируемой

деления малых вероятностей по методу статистического модели­ рования, для их имитации целесообразно использовать особо точ­ ные методы. Даже существенное усложнение операций с редко встречающимися /2(у) и / 3(у) мало скажется на среднем времени имитации 7].

Воспользовавшись симметричностью fT(у), можно осуществ­ лять имитацию абсолютного значения |rj нормальной случай-

113

ной величины т] (знак может быть получен специальным испыта­ нием, например, берется знак «+», если очередное значение равно­

Для имитации средней части распределения /^(у) (без «хвостов» распределения, т. е. для у £ [0, Ь]) использовался метод обрат­ ной функции Ф ~\у), где

e~&*l2dy.

При этом применялась кусочно-постоянная аппроксимация функ­ ции Ф~1(у), т. е. осуществлялся случайный выбор числа из таблицы нормальных чисел. Так, если отрезок [0,5, Ф(Ъ) ] разбить на п равных частей, то в качестве очередной реализации у из таблицы выбирается число с номером г = [п £] (здесь £ — случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0,1], а символ [х ] обоз­

Поскольку расчет параметров ак производится не в процессе имитации случайных чисел, а относится к подготовительной ра­ боте, объем вычислений здесь особого значения не имеет.

Количество п интервалов (объем таблицы) назначается из ус­ ловия обеспечения требуемой точности случайных чисел. При этом погрешность воспроизведения функции распределения (ЛФ) на участке [а, Ъ] определяется соотношением

Ф (Ь) — 0,5

2п

Для ускорения вычислений объем таблицы п обычно выбирают таким, чтобы п = 2 \ при этом для формирования адреса г исполь­ зуются первые I разрядов ненормализованного числа £ или раз­ ряды со 2-го по (/+1)-й для нормализованных чисел. Быстро­ действие этого метода является практически предельным.

Для моделирования «хвоста» распределения использовался метод М. Маллера [7], с помощью которого пара независимых,

114

Следует отметить, что метод Маллера является теоретически «точным» и требует наименьшего количества равномерно распре­

рированию с /х(у), близка к единице, то сочетание двух разных приемов моделирования для имитации средней части распреде­ ления, с одной стороны, и «хвостов» распределения — с другой, дает возможность решить одновременно две задачи: во-первых, увеличить быстродействие получения нормальных чисел, а вовторых, повысить точность имитации на «краях».

При проведении расчетов на ЭЦВМ «Минск-22» количество интервалов разбиения средней части нормального распределения

двух различных приемов моделирования для средней части рас­ пределения и «хвостов», были подвергнуты детальной статисти­ ческой проверке на «нормальность» распределения с помощью критерия А. Н. Колмогорова. Этот критерий основан на распре­

— 00

Какова бы ни была непрерывная функция распределения F(x),

где К (z) — табулированная функция распределения Колмогорова.

В таблице приведены значения Dn\Jn и К (z) для различных случайно выбранных начальных значений а0, ро, которые явля­ лись начальными в генерируемой последовательности псевдо­ случайных равномерно распределенных на отрезке [0, 1 ] чисел.

115