ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 47
Скачиваний: 0
+ |
zffif |
|
(г,)] cos t |
+ |
i ( - |
zf.H'lX |
г,) - |
zf2HfKz) |
+ |
||||
|
|
|
+ |
|
|
(i,) + |
z ^ t f f ' ^ ) ] |
sin x j f |
|
(iv.3.11) |
|||
( |
|
= 4- {[ |
|
|
( *i) + |
C / C ( |
* , ) + |
C,H? |
(z, ) + |
||||
|
|
|
|
4 |
C X 2 |
) ( ^ ) ] ( l - c o s x ) } . |
|
|
(IV.3.12) |
||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(j-u) |
— C - c |
|
|
(IV.3.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = г 1 С 1 |
( z,) + 2 і С 2 Я І 2 ) |
( z,) + |
^ С з Я ; 1 ' (^) |
+ I , C 4 |
Я <2) |
||||||||
, = |
/ [- |
г&Н™ |
(*,) |
- |
ZlC,Hf\ |
z,) + |
|
(SJ |
|
+ |
|||
* = / [ - |
|
( *,) - |
auf |
( zx) + с3я <>>(*,)+с4я«> (\ )] |
|||||||||
C = |
C x < > ( zx) |
+ |
C2 tf <2>(г,) + |
C 3 t f ^ (г,) + C 4 / / « |
|
(5J |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.3.14) |
|
t |
) |
= |
- J L |
5 c o s ( a r c t g - § - ) |
+ Cfarctg-|- |
|
(IV.3.15) |
|||||
|
"/max |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я с р |
|
|
|
|
|
|
" « . , = |
[ Г |
Л |
s i n a r c t g ( - £ j + / 2 1 — cos arctg(^— Â~ |
(IV.3.16) |
|||||||||
Б. Задача о вынужденных колебаниях трубы при заданном |
|||||||||||||
движении вязко-линейного грунта. Пусть |
|
|
|
||||||||||
при |
|
г |
= |
Ь |
|
V |
— Ï » 0 C O S <ot |
|
|
|
|
||
|
|
|
=a |
|
|
|
|
тШ=2шАтт |
|
|
(IV.3.17) |
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
160
Решение уравнения (IV.3.1) представляется, как и выше, вы ражениями (ІѴ.3.5) и (IV.3.6) с постоянными
Ѵ І 2 ) Ю - ^ о Ѵ о ] - ^ ' <Ч)[ V f V i ) -
с , = — £
" ' о 4 (**,) [ |
*,) ~ g ^ V * ) ] - Я<2> ( Ц ) X |
с я = .
X
< я ^ ) ( х 1 0 [ і 1 я р ( 1 0 + ^ 1 я ^ ( 1 0 ] - ^ ) ( х 1 1 ) X
(IV.3.18)
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ; e c o s ( a r c t g ^ ) |
+ |
|
/ ; а |
sin |
( a r c t g ^ ) |
|||
|
[im |
/ 1 |
а |
cos t + |
/ 2 а sin X |
|||
"о - «r=a |
Л а ) s i |
|
+ |
/2a ( c o s z - 1 ) |
||||
( ü o _ |
n T |
|||||||
•"cp |
- 4 |
+ |
К |
- |
Л |
* |
) |
|
|
2 |
|||||||
(ІѴ.3.19)
Аналогично определяются присоединенные массы грунта /п^р и
яг .
пр
11 — 11 8 |
161 |
§ 4. Колебания жесткой трубы в различной грунтовой среде
1. Грунт с проскальзыванием, вязким и вязко-пластичным трением
Задача А. Для силы взаимодействия принимаем
Заменяя
dui_dui |
oui |
_ _ |
_ut |
' |
сОиі_ |
|
L. fËi |
П \ / |
4. 9* |
|||||
записываем |
dt |
~ dt' |
дг |
~ |
Я |
<?л« — |
|
Я |
Л ' |
^ V |
' ^ ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
t e |
в дифференциальное |
уравнение |
движения |
трубы |
|||||||||
|
|
|
|
іиі, = |
- |
2ua? |
( ^ ) , |
|
|
(ІѴ.4.4) |
||||
получаем |
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
_dvt |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ç |
|
. |
|
(IV.4.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
^ |
|
|
||||
Вместо <p (г>,) могут |
быть |
взяты |
разные |
их |
аппроксимации. |
|
||||||||
Разрешая |
(ІѴ.4.5) |
относительно |
|
= |
~ |
и интегрируя, |
находим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
о |
j " г>,<И. |
|
|
|
|
(ІѴ.4.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого |
по |
(IV. 1.16) |
определяем |
kx. |
|
|
|
|
||||||
Задача Б. Заменяем |
в |
(ІѴ.4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
du |
du |
|
du |
u0— Ui |
|
diu |
|
u0 — u l i |
.... . |
||||
тогда |
~dt~~dt' |
|
~дг~~7Г~> |
|
dràl |
|
H |
' |
(ІѴЛ./J |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
= |
- ^ u - f p |
|
signa, |
|
|
(IV.4.8) |
||||
и дифференциальное уравнение движения трубы запишется
или
+ 2аѵ + 2/fe/sign о = «о, |
(ІѴ.4.10) |
162
где
Это уравнение решается численными методами с использова нием вычислительных машин.
?.. Мягкий грунт с неполной упругостью
В этом случае в зависимости от знака скорости касательные напряжения в стенке трубы будут иметь разные значения. Напряжение на поверхности трубы для (п + 1)-го этапа в общем виде представлено формулой (IV. 1.8).
Принимаем
sign <Ü<*+1>)~ s i g n ^ І І ^ і ^ |
и |
|
s 1 g n ( « ( - + 1 > ) = / 1 1 + 1 ( « " ' + 1 » ) . |
|
||||||||||
тогда |
|
|
m |
|
|
нач |
|
|
|
|
|
|
(1V.4.1I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ л - И » |
/ ( + 1 ) |
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' m |
|
нач |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' m a x |
|
"нач |
|
|
Уи |
|
' С Р |
|
|
|
и дифференциальное уравнение (п + |
|
1)-го этапа движения для рас |
||||||||||||
сматриваемой |
модели грунта |
сводится |
к виду |
|
|
|
|
|||||||
ü i n + 1 ) |
+ 2kn+lu{n+1) |
|
+ b2u(n+1) |
|
= ü^+l) |
+ |
b2A{n), |
(ІѴ.4.12) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
' |
|
л + 1 |
|
|
m |
|
|
|
х |
' |
Решением |
этого уравнения |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ T - |
f |
« i f " |
0 ) |
« T * " " ^ |
sin £ „ + 1 (г - |
t ) rft - f |
|
|||||||
|
|
m |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ о л + 1 |
С A ( n ) e - * " + l ( ' - T ) |
s i n |
ö n + l |
(* - x) dx- |
( I V A H ) |
||||||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
при |
* = |
і £ , и ( " + 1 ) |
= |
« < я 0 ) и |
|
|
- |
и( л 0 ) , |
то |
постоянные |
|||
с „ + ѵ D n + i |
выражаются |
через |
и < п + \ |
|
и<"+ 1 > , |
6Я + 1 , |
А Я + 1 , |
# \ |
, |
|||||
« , л + 1 ) |
= / ^ ( « < п + 1 ) . |
|
|
|
к я + ѵ |
t, |
/ ж + 1 | . |
(WA15 ) |
|
|||||
163
Коэффициент / п + 1 из уравнения
|
|
l |
m |
dt |
1 |
|
Ç |
||
:лп+і) |
lm |
— г н а ч |
t нач |
У' 7 я + 1/ |
" ср |
подставляем в (IV.4.14) и окончательно определяем и(л + 1) Тогда для касательного взаимодействия имеем
Ѵ + = К "Г" - Л ( л ) + 5 ( я ) / „ + 1 -^і— 1- (ІѴ.4.17)
3. Дифференциальное уравнение продольного движения трубы в грунте с вязкоупругим сопротивлением
Как показали наши спыты (гл. I ) , сопротивление грунта дви жению трубы обладает реологическими свойствами. Касательное взаимодействие грунта и трубы в зависимости от относительного перемещения трубы для отдельных грунтов можно представить (аналогично гл. I) в виде
= -kxii = -kxu,
(IV.4.18)
где kx — оператор; R(t) определяется опытом.
Пусть kxu = kxu, где ^ — коэффициент сдвига трубопровода:
kx |
= - - £ = R{0) |
- I |
u ( T ) |
d- |
X> |
u(t) |
a * |
||
|
|
о |
|
|
|
|
t |
|
|
(IV.4.19)
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение ко лебаний жесткой трубы при заданном законе движения окру жающего грунта запишется так:
ù + k'u-=kr |
J Г(< |
— т ) и ( * ) < * т + и0 , |
(ІѴ.4.20) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
R' (О |
|
k2 |
Я<0) |
(ІѴ.4.21) |
|
R (0) |
' |
|||
|
|
m |
|
||
За начальные условия |
можно |
принять |
|
||
и = 0, |
и = vQ |
при |
t = 0. |
(ІѴ.4.22) |
|
164