Файл: Рашидов, Т. Р.pdf

ление

грунта на

единицу

площади

трубы,

определяемое

сог­

ласно

[48].

Если

г =

а (здесь

а = -^- Дн

j то

при

и >

0

грунт

опережает

трубу,

и <

0

труба

опережает

грунт,

и = 0 налицо полное сцепление трубы с грунтом.

Величина

Диг

=

ит | г =

а

— иі

— и (г,

х, t)\r_a

вызывает

про­

скальзывание

грунта

относительно

трубы

1т{г,х,

t)

dur

da

~дг '

т. е. деформацию

сдвига

грунта при

произвольном

г.

Согласно

сказанному здесь х следует считать величиной постоянной.

Выразим

силы

взаимодействия

трубы

с

грунтом,

принимая

различные модели

грунта.

1.

Идеально-упругий грунт, трубопровод

без проскальзывания:

Д « г

=

0,

« J r = = ö

=

о.

('V

1.1)

Тогда

касательные

напряжения

грунта

на

поверхности

трубы

равны

\ - О г Ь , ra

= G a l a , r = a.

(ІѴ.1.2)

2.

Вязкий

грунт (водонасыщенная

глина и т. д.). Имеем

в

об­

щем

и линейном случаях

дЫ

(ІѴ.1.3)

где

Т — некоторая

нелинейная

функция.

а

Условия прилипания и

выражение силы

трения

при

r =

иг

=

их ,

и = О

(ІѴ.1.4)

до?

Так как

= «<" -

< > ,

« 1 =

0,

то

^

= *Д«( о" -

« і ц ) ;

№ 1 . 7 )

здесь

= «™

при

t =

С\

« f W / > ,

и?

= «<Д

Этап

2:

ди

.

п

U

<

"max. W <

° '

Этап

3:

^ = ^ ( « « - « « У = * х ( « ? ,

- " | а ,

- " 1 ) -

" >

"min-

а Г > 0

'

С = А х ( « ( 3 , - " ( 1 ) = * , К ,

- » ( ? > - " ( 1 )

и т. д. Обобщение этих выражений

для

(п +

1)

этапа

дает

х<"+1> =

кх\и10я+и

- и[п+Х)

-

Аш

+

ß ^ s i g n

( и ( я

+ 1 ) ) ] ,

(ІѴ.1.8)

где введены

обозначения

Л'"' _-

(л)

,

(л)

В

—

Ц(Я)

_ ц (я)

(IV.1.9)

х

""

х

m i n

/

t

с) Ï

^ ^ G ^ + ^ - x ) - ^ ;

(IV.1.10)

здесь R (t) — находится

из опыта

(см. гл.І ) .

При г =

а,

du

и\г_а=и(х,і),-^

=

Т а ( * ) .

(IV.1.11)

Дифференциальные

уравнения

колебания частиц

грунта

и

жест-

а_

,,,,„•,,,,

кой трубы. В силу жесткости

трубы

»>'>'>>'М'/М/////ШШ>Ш»

(хг = const, ох

= const) условие дина­

мического равновесия кругового эле­

мента

грунта

запишется

так

(рис. 65):

Отсюда имеем

уравнение

коле­

баний грунта

dßuT

дхг

ѵ

(ІѴ.1.12)

dt*

дг

~^ г

I

/

Колебания

жесткой

трубы

опи­

Шіі

I

сываются уравнением

В

m п р

и, = 2иа ( хг )г = а ,

(ІѴ.1.13)

m

— р

F

Л И

пр

"пр

пр

усло­

с граничными и начальными

виями:

Рис. 65.

при г = b

ur

= uQ

(t)

(ІѴ.1.14)

г = а

и.

и,

(t)

и при t

= О

и г

- и г

, ит --V

(IV. 1.15)

118

147

Уравнение

движения

(IV.

1.12)

при

учете (IV. 1.2)

принима­

ет вид

1

••

д2иг

1

да.

(IV.2.1)

Aru=—f-f—

г

дг

'

.

Ср

дгг

*'1>

здесь

•f=C*,

% = Gr-EF-

1V

А. Задача о вынужденных колебаниях грунта

при

задан­

ном движении

трубы. Принимаем

их

= Asmut,

и0

=

0.

(ІѴ.3.2)

При

г = а

и =

и, =

Л sin u)£

и

п

•

(ІѴ.2.4)

г — b

и г = и0

= 0

виде

ѵ ' '

Решение (ІѴ.2.1) с учетом

(ІѴ.2.4)

представим в

и, = / ( г )

sin <

(ІѴ.2.5)

где

=

° Г

= ^

/ , < Й К . ( Ц . ) - г , < й / о ( Ч »

S m <

( І Ѵ - 2 - 7 )

Х = 4"'

P = Ç .

? =

=

À > 1

(ІѴ.2.8)

(в общепринятых обозначениях бесселевых функций).

Определив таким путем касательное напряжение и сопоставив

его

с выражением

для касательного

напряжения в гл. I I , найдем

_

Gj

г^щ^т-г^щ^т

„ V 9 i m

* x -

a

K0 (Щ /„

(?) - / 0

(Xß)

У0

(P) •

' l 1 v - г - Ш >

С асимптотическими

значениями

бесселевых

функций

при

не­

достаточно

большом

X и

в случае

ß3 - О

Q

1 +

[in

1)J

^

= - Г

2

;

,

(ІѴ.2Л00

х

а

из

и

in X + Е_ <х» -

4

а в

случае

ß2 = О

ь

—

І

(ІѴ.2.10")

* ,

= Т

a

In X

Как показывают эти формулы, значения kx

несущественно

зави­

сят от ß (рис. 66 и 67), т. е. от частоты колебаний ш.

Толщина

слоя присоединенной

массы

грунта определяется

следующим образом (рис. 65 б):

а.

I да. \

I du. \

kr

и.

отсюда

А — * 7 '

^ - Т - Т Й Г -

( І Ѵ - 2 - 1 2 )

При

ß3 =

0

и небольших

Х(Х = о(2—5))

имеем

In X +

Ç (W - 1)

—

,

(ІѴ.2.12')

l + B - [ l n Х » - ( Х 2 _ 1 ) ]

4

или

при

ß 2

^ 0

Л0

= 1пХ.

(ІѴ.2.12")

Присоединенная

масса

грунта

тпр

при

движении

жесткой

трубы может быть определена сравнением

количеств

движений

a+h

«lp

=

.

(ІѴ.2.13)