Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
Изучим теперь случайные отклонения элементов матрицы А (t) и вектора / (t) от их средних значений Л и / , которые определяются выражениями (213). Рас
смотрим статистические характеристики процесса |
gn (<). Корреляционная |
функция этого процесса |
|
|
*п.п(т) = Л1 Г~Yi |
6іі (0 5 п « + т) |
|
|||
|
|
L11 |
|
|
|
|
_Ѵі_ |
|
|
|
|
|
|
'Р2 |
I И ( 0 - |
* 1 і ] К (* + *> ~ * 1 і ] ) = 2 ^ 2 |
*1 1 W . |
|||
11 |
|
|
|
|
Г/ |
|
где |
Кп (т) — М [vt |
(t) |
vt (t + |
т)] = |
|
|
|
|
|||||
= |
k2M [v0 (t — e) v0 (t + |
T — e) ] = &2K0o W- |
||||
Таким образом, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
и (т) |
:2 - |
^ ^ |
0(т). |
(215) |
|
|
|
7 1 |
|
|
|
В соответствии со спектральной плотностью мощности процесса v0 (t), вы числяемой по формуле (211), его корреляционная функция определяется выра жением
|
|
|
гг / \ |
г* |
sin А/лТ |
, |
|
|
К00 (т) = D0cos (00 X — . ■ ю |
||||
где |
|
|
|
|
, 2S0Aq |
|
|
|
|
D0=M [ug(0 ] |
|
||
Теперь нетрудно определить спектральную плотность Sn , п (со) мощности |
||||||
процесса |
L1 |
| u (t) как |
преобразование |
Фурье его |
корреляционной функции |
|
Kn, п (т). |
График S n , u |
(со) представлен |
на рис. 28. В ряде практических за |
|||
дач ширина спектра S u , ц (со) |
много больше полосы пропускания системы при |
|||||
средних значениях параметров, определяемых выражением (214). Это означает, что на динамику системы оказывают влияние только низкие гармоники спектра 5 ц , u (ш), интенсивность которых близка к S Ul u (0). Иначе говоря, случайные
отклонения gn (t) воспринимаются системой как «белый» шум интенсивности
*1
Sn, п (0). В соответствии с принятым обозначением [см. формулу (198) ] S n , u (0)= = Rn, и- Величина Rllt u легко подсчитывается по формуле
|
і(0) = 2 ^ й 4 |
со |
„ 2 |
|
|
со |
S(co)S(-(ü)dco = |
|
* п , и — ^ii.i |
11 |
J ^ 0(t)rfx = 2 ^ é 4 — |
|
I |
||||
|
|
|
= |
8 -=!— |
|
SqÄ4 Д со. |
||
|
|
|
|
2я т\ |
|
и |
|
|
|
|
|
Свойствами, |
аналогичными |
указанным вы |
|||
|
|
ше |
для процесса |
gu |
(/), |
характеризуются |
||
|
|
й другие элементы А (t) |
и / |
(t). Таким образом, |
||||
|
|
все процессы случайных отклонений парамет |
||||||
|
|
ров |
могут рассматриваться |
как «белые» шумы, |
||||
84
интенсивность которых равна значению спектральной плотности мощности при (о = 0. Взиамные интенсивности случайных отклонений коэффициентов пола
гаются равными значению взаимной спектральной плотности мощности при
со=0.
|
Y_l |
(t) |
характеризуется |
интенсивностью |
В частности, процесс ------| ljL |
||||
|
YJL |
|
|
|
р |
|
|
sin 2 Аа Іо. |
|
_4 _L Yx c2l4 Д |
4 |
|||
K n, |
12 ~ 4 2л ~ф2 |
|
2A |
То |
|
1 1 |
|
||
|
|
|
'“ “Г J |
|
Ниже приведены все статистические характеристики случайных отклоне ний коэффициентов, необходимые для проведения анализа системы:
|
|
2 |
|
|
|
. .. |
Г. |
|
|
1 |
?1 - Slk*A, |
sin 2ДМ |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
^21, 21 ^ 2л |
°0ге |
^(0 |
|
2А |
Т'о |
|
||
|
|
|
|
|
|
1®>“4- |
|
|
|
Р |
__ О |
' |
^ 4 - (?2 а 4д . |
|
|
||
|
*•22, |
22 —й |
2^ |
j .2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
■Slk~A, |
|
|
|
sin 2 Аав |
||
А'п = 4 |
|
1 + cos2ö>08 - ^ |
bB |
|||||
2л |
0 |
® . |
|
|
|
|
||
Nm=442л~ x~j s lk2^ |
1 -f- cos2(ü0^e -f ~ |
sin 2Am(ч£У |
||||||
|
|
|
: 0; |
|
2Д, ■(•+£) J’ |
|||
|
^ 11. 12 — ^ 11. 21 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
ч |
О |
1 |
YlYx |
^ |
д |
|
|
|
?П, 22 8 |
2л |
|
0 |
0 |
|
|
|
^ 12, 21 —4 |
1 |
-VlYx с2)4д |
|
sin 2А(а - ± |
||||
|
|
|
|
|||||
2л Т{ГХ 0 |
«> |
|
2А |
|
||||
|
*?12. 22 — К 21t 22 — 0 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
Rli, Ik = |
ij> |
N12 ~ 4 |
|
-jTj— X |
||||
X Sßé2 дш cos (öq |
|
|
|
|
|
) ’ |
||
|
|
V + « 1 л (2c -j- |
||||||
|
|
|
|
|
|
sin Аие _ |
||
Ga, 1 = |
8 |
Щ s lk* Ло>cos “ о8 |
Affle |
|
||||
sin A,
- ( • + £ )
■(•+*) '
85
|
|
|
|
|
COS СОл ( E--- - |
)------ ----- — |
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
[ |
1 > |
* |
. ( |
- |
£ |
) |
|
|
|
|
- COSG)0 |
|
|
sin Am (e + ^ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A* ( e + x ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
° I2> 2 |
= |
4 ~2n |
T1T± 5 oa3a co x |
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
sin Дм8 , |
|
|
sin Affl |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cosM0s - - л c - + COS co0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
aCüb |
|
( |
+ 2 |
) |
A„(» + i ) |
|
’ |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
G«.1^ |
|
V , |
D O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4~ è r i \ f r[^ > k^ a X |
|
|
|
|
|
|||||
X COSG)0 |
(e - |
- f ) |
--------7~~~ |
T \ L |
+ cosco0( s |
+ J |
f ) -------- |
|
To |
||||
|
/ |
r„ \ |
Sin A“ ( e |
v ) |
|
/ |
T |
\ |
Sin A® ( 8 + 14 |
||||
|
|
|
A“ (6- ^ ) |
|
V |
|
' |
A« ( 8+ ^ |
|||||
|
|
|
G 2 1 , |
2 — |
|
1 X |
|
sin Aw ( е + |
-Ь -) |
|
|||
|
|
sin Affl8 |
, |
( |
r |
TB\ |
|
||||||
X |
|
sinA» ( s |
+ |
~ # |
|
||||||||
COS“ oS----д - ^ - + СО5С00 ( e - f - J - ) ---------j - i ---- |
fT—- |
’ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
7 |
T \ |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 J A< o ( e + ^ ) |
|
|
|||||
|
G22, 1 — |
J _ |
Yx Slk3 |
cos <D0e |
sin Affie |
|
2л |
T{Tx |
|
; |
|
G22, 2 |
1 X |
Ф 3Aa COScd0 |
4 |
sin Да ^6 + Х д ) |
|
*.(■+ £) |
|||||
|
|
|
|
Io |
|
Теперь можно воспользоваться уравнениями (205), (207), которым удовле творяют математическое ожидание вектора г (t) и его матрица вторых начальных моментов Г (7), связанная с дисперсионной матрицей известным соотношением
D (t) = Г (0 — т (t) т* (t).
Результаты |
моделирования |
на вычислительной |
машине уравнений (205) |
||||
и (207) представлены на рис. 29 |
и 30. |
При моделировании было |
принято Dv = |
||||
= 10'3, Yi = |
= —^ 5’ |
= |
T'X ~ |
Ю мкс’ |
= |
9 МГц, k = |
0,5. Задержка |
87
в приеме сигнала в компенсационном канале 8 варьировалась в диапазоне от 0,001 до 0,025 мкс. На рис. 29 показаны графики изменения математического ожидания компонент вектора z (t) во времени:
Щ (0 = |
М [гх (/)]; |
I |
|
||
т± |
(t) = |
М [гх (0] |
I |
(216) |
|
Кривые на графиках соответствуют определенным величинам |
задержки 8 |
||||
(в мкс): |
|
|
|
|
|
1 — 0,025; |
4 — 0,010; |
7 — 0,003; |
|
||
2 — 0,20; |
5 — 0,007; |
8 — 0,002; |
|
||
3 — 0,15; |
6 — 0,005; |
9 — 0,001. |
|
||
На рис. 30 |
показаны графики |
элементов дисперсионной |
матрицы вектора |
z (t) для тех же величин е, что и на рис. 29. |
на математическое |
||
Величина |
= у х оказывает |
незначительное влияние |
|
ожидание вектора г (t), но существенно влияет на разброс его значений. На рис. 31 представлены графики математических ожиданий гх (і) и г± (f) при е =
== 0,02 мкс и значениях 7і = Vj_ = —Ю5 и Yj = Yj_ = —0,7- ІО5. Графики дис персий 2j (t) и z± (t) при тех же значениях параметров показаны на рис. 32.
Моделирование уравнений (205) и (207) позволяет выяснить влияние несимметрии трактов на фильтрацию узкополосного гауссова процесса, а также влия ние параметров Vj, 7 Х, Тх, Т± и мощности входного процесса на устойчивость
системы в среднем и среднеквадратическом смысле, а также ряд других инженер ных характеристик системы.