Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

так что

\daa(ОЬ/ = S Я **/(0;

k —\

{dAf(t)},= t G ik, k(t).

k = i

Аналогично определяется матрица коэффициентов диффузии процесса х (t):

ѲЛ j (t, x) — limД->0 -^ТГ-М[Аде, (О Аx, (t) | x (t) = x] —

Решение уравнения (201) связано со значительными трудно­ стями, однако в большинстве практических задач представляет интерес поведение моментных функций вектора х (/).

В гл. I было показано, что математическое ожидание марков­ ского процесса является решением дифференциального уравне­ ния (115). Подставляя в формулу (115) выражение (203) для век­ тора коэффициентов сноса, получим:

Дисперсионная матрица марковского процесса D (t) удовле­ творяет дифференциальному уравнению (116). Введем обозначение:

Тц — ^ S ^Rik, л Фкі -f- тііЩ) + ^jpik, imk +

Тогда используя в формуле (116) выражения (203), (204) и обозначение (206), получим следующее дифференциальное урав­ нение:

Аналогичный прием позволяет найти обыкновенное дифферен­ циальное уравнение, определяющее моментную функцию выходных координат Xj (t), i = 1, 2, . . ., п произвольного порядка. Суще-

79

+ k<i + • • •+ kn является возможность применения рекурсивной процедуры вычисления моментной функции. Это связано с тем, что правая часть дифференциального уравнения, разрешенного

относительно M [xi1^ 2. . . xn"j зависит только от моментных

функций порядков N и N — 1. Уравнения (205), (207) наглядно демонстрируют это свойство.

Пример. Рассмотрим простейшую параметрическую систему первого порядка

* = — а (t) X + / ( t),

где стационарные случайные процессы а (() и / (() определяются следующими статистическими характеристиками:

М[а (01 = а = const;

М[a (t) а (т)] = Rö (t—т);

М[/ (0 ] = f — const;

~ ~ l ( R x 2 + 2Gx + N )p(t,x)] .

Математическое ожидание рассматриваемого процесса т (t) и его дисперсия D (t) согласно выражениям (205) и (207) удовлетворяют уравнениям

при начальных условиях

т (0) = т0\

D (0) = D„.

На основании формулы (208) могут быть установлены допустимые вариации случайных параметров для обеспечения устойчивости системы в среднем и в сред-

80

S(a)

$О

Рис. 27. График S (со)

Рис. 26. Схема корреляционного компенса­ тора

нем квадрате. Очевидно, что для устойчивости системы в среднем должно выпол­ няться условие

a > ~ 2 R'

а для устойчивости в среднем квадрате — условие

ä> R.

Вопросы устойчивости линейных систем, параметры которых возмущены «белыми» шумами, подробно рассмотрены Р. 3. Хасьминскими {107].

К исследованию линейных систем со случайными коэффициентами типа «белый» шум сводится анализ некоторых радиотехнических схем. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Исследуем фильтр, построенный на корреляционном принципе. Структурная схема подобного фильтра представлена на рис. 26. Схеме соответ­ ствует система дифференциальных уравнений

коррелированными узкополосными стационарными гауссовыми процессами. Спектральная плотность мощности процесса ѵ0 (t), представленная на рис. 27, определяется выражением

где со0 — несущая частота процесса; со0 =

2л

*о

Процесс ѵг (t) связан с ц0 (0 зависимостью

vL (t) — kv0 (t — e),

что отражает прием сигнала с задержкой во времени и изменением амплитуды.

параметров фильтруемого узкополосного гауссова процесса ѵ 0 (t ): амплитуды и фазы.

В связи с тем, что входные процессы системы (210) являются случайными, она описывается линейной системой дифференциальных уравнений со случай­ ными коэффициентами. Система (210) может быть записана в векторно-матричной форме:

г = А (0 г + / (0,

где

7 \ Ко1

41 ~X к°х

82

Матрица А и вектор f составлены из средних значений элементов А (t) и / (t) соответственно. Тогда центрированные отклонения элементов матриц А (t) и / (t) могут быть представлены в виде:

1

Тг и

=1

тх Sox

где

= ViVj ~ * i

Вычислим А и /, определяемые выражениями (212). Нетрудно установить, что

Здесь было использовано выражение (211) для спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса ѵа (t). Таким образом, можно записать: