Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

+ H

■a(t)xi(t)

- N

&)

Процесс а (f) является случайным, стационарным с равным нулю математическим ожиданием М [а (01 и корреляционной функцией

Таким образом, система (196) содержит мультипликативную помеху а (t) xt (t) (рис. 24, а) по і-й координате выходного про­ цесса. Для случайного процесса а (t) может быть построена сле­ дующая модель (рис. 24, б). Реле в случайные моменты времени переключается из положения 1 в положение 2 и обратно. Пред­ положим, что положения 1 и 2 равновероятны, а распределение моментов переключений подчиняется закону Пуассона со средней частотой р:

P(n, 0 =

где р (n, t) — вероятность того, что в течение интервала времени t произойдет точно п переключений. Построенный таким способом процесс имеет корреляционную функцию (197) и математическое ожидание, равное нулю, что доказывает возможность представле­ ния процесса а (і) моделью рис. 24, б. Это позволяет заменить схему рис. 24, а схемой рис. 24, в, Содержащей блоки постоянных коэффициентов + N и —N , а также контакты случайным образом переключающегося реле. Таким образом, система управления с мультипликативной помехой заменена системой со случайным скачкообразным изменением состояний. В первом состоянии она описывается дифференциальным уравнением

X == Ä qX —j- Â ^ x —I- H f ,

75

где

0 0

Математическбе ожидание и дисперсионная матрица выходных координат рассматриваемой системы могут быть определены изло­ женным выше методом. На рис. 25 представлена схема модели­ рования М [х (t)}.

Заметим, что представление процесса а (і) моделью рис. 24, б Основано лишь на совпадении математического ожидания и кор­ реляционной функции модели и процесса и не учитывает старших моментов мультипликативной помехи а (і). Поэтому изложенный выше подход может быть применен при несущественной зависи-

76

Рис. 25. Схема моделирования М [х (t) ] в системе с муль­ типликативной помехой

мости статистических характеристик выходных координат си­ стемы от старших моментов мультипликативной помехи. Для учета старших моментов мультипликативной помехи следует применить более сложные модели.

3. Линейные системы со случайными коэффициентами типа «белый» шум

В предыдущих параграфах было проведено исследование ли­ нейных динамических систем со случайными возмущениями коэф­ фициентов, когда эти возмущения представляют собой случайные величины или марковские чисто разрывные процессы (например, телеграфный сигнал). В первом случае вся мощность процесса отклонения параметра сосредоточена на нулевой частоте его спектральной характеристики, во втором случае случайный про­ цесс имеет более богатый спектральный состав. В этом параграфе будут рассмотрены возмущения параметров, имеющие равную интенсивность всех гармоник, или процессы типа «белый» шум. Статистическому анализу линейных динамических систем со слу­ чайными коэффициентами типа «белый» шум посвящен ряд работ [118, 121, 123, 131 ], в которых для решения задачи анализа приме­ нен аппарат теории процессов Маркова и уравнения Колмогорова.

Рассмотрим линейную динамическую систему, вектор выход­ ных координат которой х (/) удовлетворяет системе уравнений в векторно-матричной форме

77

/ (/) — и-мерное входное возмущение со статистическими харак­ теристиками

(199)

М [/ (/) /* (т)] = N (/) б (/ — т). (

Случайные процессы Л (/) и f (t) коррелированы:

При принятых предположениях относительно свойств случай­ ных процессов А (/) и f (/) [см. формулы (198)—(200)] случайный вектор X (/) является марковским и его одномерная плотность распределения вероятностей р (/, х) удовлетворяет уравнению Колмогорова (108):

Если известно начальное распределение вероятностей вектора выходных координат х (/):

то уравнение (201) также имеет начальное условие (202). Определим вектор коэффициентов сноса с (/, х) и матрицу

коэффициентов диффузии Ѳ (/, х) рассматриваемого процесса х (/):

78