Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

где К 2 (0 определяется тем же дифференциальным уравнением (370), (371), которое было получено в аналогичной задаче с точ­ ными измерениями фазовых координат.

Таким образом, для выработки оптимального управления необ­ ходимо сначала получить оценку фазовых координат объекта т (t) согласно формуле (418), а затем в соответствии с выражением (422) сформировать и0 (/). Иначе говоря, блок управления разделился на блок оптимальной обработки результатов измерений и опти­ мальный линейный регулятор, совпадающий с оптимальным ли­ нейным регулятором, в соответствующей детерминированной за­ даче. Этот результат является содержанием теоремы разделе­ ния [156].

6. Оптимальное управление линейным объектом при неточном знании времени управления

Рассмотрим управление линейным объектом, описываемым уравнением (361), при квадратичном показателе качества (362).

Впроцессе управления измеряётся вектор

у(/) = С (t) X + 1] (t).

Начальное распределение вектора фазовых координат объекта предполагается нормальным. Особенностью рассматриваемой за­ дачи является отсутствие точной информации о моменте оконча­ ния управления Т. Имеются лишь априорные сведения о моменте окончания управления, которые уточняются в процессе управле­ ния путем наблюдения процесса

Л4ѵ (t) — 0;

Mv ( t j V (t2) = S (t,) 6 (*!— f2).

Задача решается в предположении, что Т является случайной величиной с априорным распределением

Закон распределения (427) будет в дальнейшем называться «усеченным» нормальным законом распределения. Заметим, что параметры р 0 и d0 усеченного нормального закона не являются математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Т . Множитель Іг является нормирующим.

Случайные процессы І (t), г) (t), v (t), а также случайная величина Т считаются независимыми.

Предполагается, что момент окончания управления Т, прини­ мающий случайное значение в интервале [а, Ь], фиксируется

всистеме, т. е. для t^> Т процесс управления прекращается.

Вп. 4 настоящей главы было показано, что апостериорное распределение вектора х (t) является нормальным с характери­ стиками m (t) и D (t), удовлетворяющими уравнениям (418), (419). Апостериорная плотность распределения Т определяется выра­ жением

где /2— нормирующий множитель, а параметры ц (t) и d (t) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

Таким образом, апостериорный закон распределения Т яв­ ляется усеченным нормальным. Этот результат получен из урав­ нения для апостериорных вероятностей (411) при соответствующих задаче значениях параметров.

Поскольку «динамика» случайной величины Т отражается диф­ ференциальным уравнением

Т = 0,

то в формуле (411) следует положить / = 0, G = 0. Тогда, учи­ тывая формулу (425), на основании выражения (411) получим сле­ дующее уравнение относительно апостериорной плотности рас­ пределения q (t, Т):

Можно убедиться в том, что закон распределения (428) удовлет­ воряет уравнению (430).

'При выводе формулы (428) не было учтено, что, кроме выра­ жения (425), есть еще один источник информации относительно Т. Как указывалось выше, в каждый момент времени t известно, закончен ли в данный момент процесс управления. Условие, что процесс управления не закончен к моменту времени t {t >>а), означает, что Т >■ t. Следовательно, нижняя граница усечения случайной величины Т равна t. Это означает, что соотношение (428) справедливо при t <і а, а при произвольном моменте управ-

178

Поскольку апостериорная дисперсионная матрица D (t) фазо­ вых координат объекта и параметр d (t) закона распределения Т (431) могут быть рассчитаны априори согласно уравнениям (419), (429), то достаточными координатами в рассматриваемой задаче управления являются вектор m (t) и скаляр р (t). Таким образом, оптимальное управление и функция Веллмана зависят от аргу­

ные особенности. Рассматривая полную группу несовместных со­

риорные вероятности согласно формуле (431) полностью опреде­ ляются значением р (t), причем при t < a, q (t, t) = 0.

Несложные преобразования выражения (432) приводят к сле­ дующему соотношению:

W 0 (t, т, р) = min {Aq (t, t) [m*Am + tr (D (t) Л)] + U(ZU

+ А [m*V (t) m + tr (D (t), V (f)) + u*J (t) u] +

В связи со сложным характером зависимости q (/, t) от коор­ динаты р общего решения уравнения (433) найти не удается. Рассмотрим частный случай, когда отсутствуют измерения z (t), что равносильно S —>■оо. При этом р (t) — р 0 = const, d (t) = = d0 — const и согласно формуле (431)

из числа достаточных координат и уравнение Веллмана (433)

180

При отсутствии жесткого ограничения на управление проце­ дура решения уравнения Веллмана не отличается от описанной в п. 2 гл. IV. При этом функция Беллмйна W 0 (і, т) представ- ■- ляется квадратичной формой по переменной т:

Wq (t, т) = ko (t) + kl (t) m + m K2 (t) m,

где k 0 (t), k ! (t) и K 2 (/) удовлетворяют системе уравнений

—ko = — ± - k \ B J - 1B'kl +

+tr (DC*R~jCDK2) + tr (DV) —

—k x = A* k 1— K^BJ^Bkx — q (t, t) ki,

— K 2 = V + A*Ka + K 2A — .

— KzBJ-1B*K2 + q ( t , t ) ( A — Kz).

Поскольку функция Веллмана удовлетворяет условию (4341, то коэффициенты k 0, k x, имеют следующие значения при t — b:

j Согласно уравнению Веллмана оптимальное управление свя

Подставляя выражение для W0 (t, т) в виде квадратичной формы и учитывая, что k x (і) = 0, получим:

и 0 — —J~1B*K2m.

Пример. Рассмотрим задачу оптимального управления объектом второго порядка, описываемым дифференциальным уравнением

. Параметры критерия оптимальности (362) матрицы V, J, А предполагаются не зависящими от времени:

181