Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

+

В системе

уравнений (81)

ѵА соответствует т;. IА —

іА +

А — tx

на

і + 1-м шаге

интегрирования;

/А + А — t2

на

/

+ 1-м шаге

интегрирования.

При составлении системы уравнений (81) предполагается вы­

полнение следующих условий:

—1

—і

£

as =

£

аі =

0-

s=o

г=о

Если

предположить,

что

математическое

ожидание

m* (t)

известно на интервале г'А =

«А,

а [корреляционная

функция

/(* (tx, t.2)

определены

в квадрате

0 ^

tx ==£ пА,

0 ^

t2 ^

пА

(п = 0,

1,2,

. . .), то,

используя

систему

(81),

можно

найти

значение

тх (t) на п +

1-м

шаге

интегрирования

и /С* (^,

^2)

для значений

переменных

tx =

0,

t2 =

(п +

1)

А

(см.

рис.

5).

Аналогично определяются

значения корреляционной

матрицы

в точках:

(tx =

А,

t2 = пА +

А),

(tx =

2А,

=

пА +

А), . . .,

(tx — пА ■-(-

А,

12 = пА -(-

А).

Воспользовавшись известным свойством матрицы корреля­

ционных функций

Kx(tи

t2) =

K*x (t2,

А),

квадрата \(п +

1) А, (п +

1) А).

t2) в квадрате

Совершенно

аналогично

определяется Кх (tь

{(га + 2) А, (п + 2) А}.

Продолжая этот процесс,

можно вычис­

лить искомую матрицу

Кх (t х, t2) в произвольной точке гА, /А.

при определении матрицы корреля­

ционных функций предлагаемым ме­

тодом.

методе

опреде­

В рассмотренном

ления математического ожидания и

матрицы

корреляционных

функций

число решаемых

уравнений

зависит

не от порядка

дифференциальных

уравнений исходной системы, а от

_ _ „

. .

числа переменных, входящих

в не-

. линейные

элементы.

Кроме

того,

Рис. 5. Последовательность вы-

„

*£

-•

числения значений

корреля-

предлагаемый метод не требует, чтобы

ционной функции

распределение всего вектора фазовых

и (77) принимают вид:

~

mx — W (0) \Втг — фо [тх, Кх (0)]};

(82)

Кх{т) =

со

со

{ JW(l)

[ВКг (т + І — К) В* —

о

о

— КіКх (т +

I - X ) к \ -

¥ (т + I - X ) ] 1F* (X) dl dX —

?

?

Kx ( x - X ) K*iW* (X) dx-

(83)

— j W(l)KiKx (r +

l ) d l - \

0

0

К г =

К 1 [mx,

к х (0)1;

Y (т +

I - X)

=

¥ [mx,

Kx ( r + l - X)],

где

W (0) — значение матрицы передаточных функций линейных

звеньев системы в нуле.

Взяв преобразование Фурье от левой и правой частей уравне­

ния

(83), получим:

S* (со) = W (— /со) IBSг (со) В* - KiSx (со) КІ —

-

¥ (о)] W' (/со) --

W ( -

/<o)KiSx (со) -

5 , (со) Кі W* (/со);

(84)

К х = Кі [тх,

Кх (0)],

¥ (со)

= ¥

[тх, Sx (со)],

5 , (со) = \Е +

W (-/со ) Кі ] '1 W (-/ш ) [ßS2(ö) В* -

— ^

(со)] Г* (/со) [Е +

K*iW (/со)]-1;

где

К і =

К і [ т х,

К х (0)];

¥ (со)

= ¥ [тх,

Sx (со)];

S* (со) = Ф (—/со) [BSZ (со) В* — У (со) ] Ф* (/со),

(85)

Kx (0) = Dx = ± I S,(ö)rf<o.

(86)

— с»

z (t) =

(0 х2 (0-

sz (со) = ml sXa (со) +

m2x sXi (со) + mx mXt [sXiXa (со) + 8XtXi (со)] +

1 ^

+

+_2S j І*Х, (“х)

«*(“)=

iaii(/“)|2{mL +

+

m2Xi I w2 (/со) I2 +

+

mXlmx 2 lw2 (/®) + w2 (— / “ )]} +

CO

+

- ^

J |a>i(/“ i)l2 l®1 [/(w —

— 00

Рис.

7. Спектральная плотность мощно­

+

w2(/CO) w2 [—j (CO— %)]} dcöi.

сти

процесса

на выходе двумерного

не­

линейного элемента «.

Предположим, что передаточные

функции линейных звеньев имеют

вид

Щ (Р) = w2(р) =

•

Тогда спектральная плотность мощности процесса на выходе нелинейного

элемента будет определяться выражением

г2 (4 +

Т2со2)

20 +

ТЧо2

( 88)

Г2сй2 + 1

+ 4Т(Г2со2 + 4)

На рис. 7 приведены графики спектральных плотностей процесса на выходе

нелинейного

элемента, полученные

с

помощью формулы (88) (кривые 1,3) и

Щ]. (О =

j о>і (т) [г — Фо (t — т) — ktn2(t — т)] d v,

т2(t) =

J" w2 (X) m1 (t — X) dX;

И

о

h i Vi> h) + J а'і'(т) {kk21 (^ — x ,

t 2) +

M [ф (*x — t) \ ((,)]} d x +

0

12

О

О

+ \ w 1 ( X ) { k k 12(t l , ( , - « +

ЛІ[І1(/1) ф ( ( , - 1 ) ] ) й +

(90)

1112

wi (T)

(A.) {k2k22 (/j — T, t2 X) "h

I !