Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Предполагая, что для учета ограничений рассматриваемого типа применим метод множителей Лагранжа, приведем задачу минимизации функционала (510) для ограничения (511) к задаче минимизации:

/ і = М [F [х {Т)]\ + ф0М [х0 (Т) ],

где фо — неопределенный постоянный коэффициент. Вариация функционала І г может быть представлена в виде

Если же условие (514) нарушается, то в соответствии с форму-

дх0 (Т)

извольной величиной. В этом случае в функцию Я (х, ф, ы, і)

добавляется слагаемое ф0/ 0 (*. и. 0- Таким образом, решение задачи минимизации функционала

(510) с ограничением типа неравенства (511) сводится к решению задачи без ограничения и проверки условия (511). Если оно не нарушается, по полученное управление и является решением задачи. Если условие (511) нарушается, задача решается снова

с введенным в функцию Н (х , и, ф, і) слагаемым ф0 / 0 (х, и, t)

иг[э 0 определяется из условия

М1х0 (Т) ] = см.

Применим изложенную методику к определению оптимального управления линейным объектом

Н Y

. = Ах + Ви + I, X (0) = х°,

обеспечивающего минимум функционала

I = М [х* (Т) Ах (Г) ]

при ограничениях на управление и (t) 6 U и

где Л — положительная, a J (t) — положительно определенная матрица.

Заметим, что без учета ограничения (519) оптимальное управ­ ление, определенное в предыдущем параграфе, является релей­ ным и в одномерном непрерывном случае равно

и (t) = — U (t) sign B*S (Т, t) X (t)

в соответствии с формулой (509).

условие (519) может не учитываться, поскольку уравнение (520) определяет максимальный «расход» управления на интер­ вале (0, Т). Более того, рассматриваемая задача с учетом огра­ ничения (519) не имеет физического смысла, так как оно никогда не нарушается.

Поэтому поставленная задача имеет смысл только в том случае, когда

т

J J (t) U2 ( 0 dt > см.

о

212

При этом в соответствии с изложенной методикой ограниче­ ние (519) может быть заменено изопериметрическим ограничением со знаком равенства:

и* (t) J (t) и (t) dt — см.

Функция Я (X, ф, и, f) в рассматриваемой задаче имеет вид

Я (х, ф, и, t) = г))0u*Ju + ф* (Ах + Ви -f \ (t))

или

При условии, что область U представляет собой (/-мерный па­ раллелепипед, такой, что

Isign-ß, при I ßt-1> Ut.

С учетом представления (523) управление и (t), обеспечивающее максимум (522), определяется выражением

« (0 = ~ s g ^ - y - 1W ( 0 ,

где, как и ранее обозначено:

Ф (f) = М [ф ( * ) №

213

Для определения оценки ф (t) запишем систему дифферен­ циальных уравнений, аналогичную уравнениям (504) и (505):

^= — А*ф + D ^C *#"1 (у — сх);

Применим к решению этой системы уравнений приближенный способ, основанный на методе статистической линеаризации.

Для этого при решении системы уравнений (525) и (526) при­ мем, что

u(t)

где К — диагональная матрица размерности [q, q ] коэффициен­ тов статистической линеаризации

ki = kt (mi, D~)

для элементов (524) типа линеной зоны с насыщением, где mit D~ —

математическое ожидание и дисперсия оценки х. При этом система уравнений (525), 526) линеаризуется, и ее решение имеет вид

с конечными условиями

5 (Г, Т) = 2А.

При этом оценка х (t) удовлетворяет уравнению

% = ( А + В 1^ - B * s ) x + DXXC*R-' (у - Сх), (527)

X (0) = М х \

Для определения дисперсии оценки D~ при нулевом математи­ ческом ожидании

М [х ( 0 1 = 0

214

Дифференцируя уравнение (528) no f и используя формулу (527), получим

При получении уравнения (529) было использовано свойство опти­ мальных оценок X, по которому

М[{х — х) X* ] = 0;

М[х (х — х)* ] = 0,

равенство

у = Сх + т|,

где т] (t) — белый шум,, а также

М {[С (х — X) + т) ] X*} = - L CD.

Таким образом, приближенно закон оптимального управления определяется выражением

U(t) = + s g ^ - B * S ( T , t)x(t),

где фо <c 0 определяется из ограничения на интеграл от квадра­ тичной формы управления (519).

5.Условия оптимальности в игровой задаче

снеточными измерениями

Предположим, что объект управления описывается векторным дифференциальным уравнением

= / (*, и, ѵ, £, t), X (t0) = х°,

где X — вектор фазовых координат размерности п\ \ — вектор случайных возмущений размерности п\ и и ѵ —векторы упра­ влений объектом, имеющие различные цели управления.

Пусть управление и (t) стремится-минимизировать функционал