Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

на основе измерений вектора

У и У а (%, П и ) ,

а управление ѵ (t) стремится максимизировать функционал (530) на основе измерений

с неполной информацией. Существенно, что в общем случае игроки используют для управления различную информацию. В связи с этим даже при противоположных интересах игроки различным образом оценивают результат игры, и поэтому в общем случае игра имеет ненулевую сумму.

Будем считать, что управление

“ = и (Уи„ і)

оптимально и равно и0, если для оптимального управления ѵ = = ѵ0, где

V = V (Ущ, t),

другого игрока для всех t интервала управления справедливо неравенство

М [J [т, ко] К ,) [и, ко] I <}■ (531)

Аналогично для управления v (f), максимизирующего функци­ онал (530), можно записать:

Из выражений (531) и (532) следует, что условия оптимально­ сти для каждого управления могут быть выражены аналогично выражению (463) в форме стохастического принципа максимума при имеющейся в его распоряжении информации.

Таким образом, для управления и в соответствии с формулой

(479) имеем:

Уравнения (533) и (534) образуют систему уравнений, совмест­ ное решение которых определяет оптимальные законы управления (стратегии) и0 и ѵ0.

216

Рассмотрим более подробно случай линейного объекта, опи­ сываемого уравнением

=Ф, ф (Г) = -2 Л * (7),

фо = — 1.

Подставляя уравнение (536) в формулу (533) и дифференцируя полученное выражение по и (t), получим по аналогии с выраже­ нием (488)

и (0 = В*Ли (t),

где ф„ (f) означает оценку ъектора ф (t) на основании информа­ ции yu (t).

нений для вектора ф (t) аналогично формулам (504) и (505) полу-

217

чаем систему уравнений для оценок фц, ф0, хц, х0, где индексы и, V обозначают наблюдаемые процессы уи и уѵ, по которым опре­ деляются оценки:

~df~ == Ахи-f- Ваи -f- Bvvu-j- DUXXCURU \^Уи — Cuxuj',

= Axy -f- Buuv -|- BuV -f- DVXXCVRU I Уѵ— CvxvJ,

Здесь через vu и иѵ обозначены оценки управлений н и м при наблюдениях zu и гѵ соответственно, а через Duxx, DvXX, Du^x, Dzrtyx— дисперсионные матрицы оценок по информации уи, уѵ.

Трудности в решении этой задачи заключаются в предвари­

тельном определении оценок управлений противника ѵи и иѵ. Иногда виды этих оценок могут определяться в условиях за­ дачи [7].

6. Оптимальное управление линейным объектом со случайными коэффициентами типа «белый» шум

Вопросам оптимального управления объектами со случайными свойствами посвящены работы ряда авторов [7, 49, 52, 65, 125, 130, 146, 150, 157]. В этих работах принимаются различные предположения относительно свойств стохастического объекта и применяются различные методы синтеза системы управления. В этом параграфе рассматривается задача оптимального управ­ ления линейным объектом со случайными коэффициентами типа «белый» шум:

X = А гх + А ги + / х,

где X — вектор п измерений; А х и А 2 — матрицы случайных коэф­ фициентов типа «белый» шум размерности [п, п] и [п, q] соот­ ветственно; и — вектор управляющего воздействия q измерений, зависящий от t их; / г — п-мерное входное воздействие, содержа­ щее неслучайную составляющую и случайные отклонения типа «белый» шум. Наличие мультипликативной помехи в канале уп­ равления может быть вызвано неточностью реализации блока управления, особенностями канала связи и другими факторами.

Предполагается, что фазовые координаты объекта измеряются точно, поэтому управляющее воздействие зависит от перемен-

218

ных t их . Оно является оптимальным, если достигается минимум функционала

I т

I = М I J [х* (т) V (т) X (т) + и* (т) J (т) и (т) dx -|-

то исходная стохастическая задача оптимального управления мо­ жет быть сведена к эквивалентной детерминированной задаче. Существенно, что дифференциальное уравнение должно однозначно определять ДГ (t) = Г (t + Д) — Г (f) при фиксированных зна­ чениях Г (t) = Г и u (t, х) = и. Для нахождения дифференциаль­ ного уравнения относительно Г (t) воспользуемся приемом, опи­ санным в п. 3 гл. II. Вектор коэффициентов сноса марковского процесса х (t), который нетрудно рассчитать по формуле (203), оказывается зависящим от переменных t, х, и, и'х, где матрица их

имеет элементы , г = 1 , 2 , . . ., q, j = 1, 2, . . ., п.

Матрица коэффициентов диффузии зависит от t, х, и. Вы­ числения показывают, что дифференциальные уравнения для Г (t) содержат, кроме текущего значения управляющего воздействия и, его производные ѵ = и'х. Таким образом, известные значения и ч Т в момент времени t не определяют однозначно АГ (t). Величина ДГ (t) вычисляется при известных значениях и, ѵ, Г в момент t. Это означает, что должны оптимизироваться совместно функции

ßx (t) — матрица переменных коэффициентов размерности [q, п\.

219