Подставим управление (539) в исходную формулу:
X = (Л! + А 2ßі) X + А 2ßo + /ф.
Обозначая
А х + А 2ß1 = А ;
А 2ßo + fi — f.
получим, что фазовые координаты л: удовлетворяют уравнению
X — Ах + f,
где матрица А и вектор / состоят из коэффициентов типа «белый» шум с известными характеристиками (198)—(200). Как показано в п. 3 гл. II матрица Г (t) определяется совместным решением уравнений (205), (207).при начальных условиях
т (0) = |
т 0\ Г (0) = Г0. |
(540) |
Теперь задача сведена |
к оптимизации функционала |
(538) |
при неголономных связях (205) и (207). Эта задача может решаться с помощью принципа максимума. Указанный подход иллюстри руется ниже на примерах.
со |
Пример. Рассмотрим управление простейшим |
объектом первого порядка |
случайным коэффициентом |
усиления: |
|
|
|
X = |
ах + \u, X (0) = |
х0, |
(541) |
где |
I (f) — белый шум со средним значением |
і; = |
const и интенсивностью S. |
Требуется найти управление в классе линейных функций фазовой координаты х
|
|
|
|
и (t, х) |
= |
ßo (t) |
+ |
ßj (t) X, |
|
(542) |
оптимизирующее квадратичный функционал |
|
|
|
|
|
|
/ = М IJ [их2 |
(т) + ы2 (т) ] dr + |
Хх2 ( Т )|. |
|
(543) |
|
Подставляя уравнение |
(542) |
в |
формулу |
(543), |
получим |
|
|
|
/ = 44 Ij [м 2 (т) + |
ß^ (т) + |
2ß0 (т) |
ßj |
(т) X (т) + ßf (т) х2 (т)] |
dr + |
+ |
Хх2 (Г)j= I [(р + |
ß2 (т)) Г (т) + 2ß0 (т) ßx (т) т (т) + ß^ (т)] Л + |
(Г). |
|
После подстановки уравнения (542) в выражение (541) уравнение объекта |
управления принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і = |
[а + ßx (t) |
l { t ) ] x |
(t) + I |
(0 ß„ (0- |
|
|
|
Приводя |
параметры |
рассматриваемого |
объекта |
в соответствие |
с |
принятой |
в п. |
3 гл. II |
системой обозначений, |
получим: |
|
|
|
|
а (0 = а + ßi (t) I (t);
/ « = S (t) ßo (0;
|
Al [а (0] = S (0 |
= a + ß i (Of; |
|
|
Mf (О = |
Tß„ (0; |
М [а (t) а (г)] = |
R (t) 8 (t — т) = |
ßt2 (t) S8 (t — r); |
M |
If (0 f CO] = |
(0 6 (* - 0 |
= |
ß2 (0 S8 (* - x); |
Al [2 |
(0 f (T)] = G (t) 8 (t — |
t) = |
ßo |
(0 ß , (0 Sö (t - T). |
Тогда согласно формулам (205), (207) m (t) и Г (t) удовлетворяют следующей
системе дифференциальных уравнений:
т = «X+ |
ßi (0 5 + - 9-.ßi (О S |
т + 6ß0 (t) + |
ßo (0 ßi (0 5; |
|
Г = 2 [а + |
ßj (t) I + ß2 (t) S] |
Г + |
|
(544) |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
І ßo (0 + -ö -ßo(0 ßi(OS |
m + |
ßo(0 |
|
|
|
m (0) = x0; |
Г (0) = x\. |
|
|
|
Функция Гамильтона определяется выражением |
|
|
|
H( t , |
|
^2) = (u + ß 2)r + 2 ß 0ß1m + ß2 + |
|
+ *1 |
а + ßil + -у- ßi5 ) m + |
+ y~ ßoßi5 |
+ |
+ Ф2 |
2 (а + ßxg |
ß25) Г + |
2 (gß 0 + |
-J - |
ßoßjS) m + |
ßflS] , |
где ißj (0 и ij)2 (t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (472):
- Фх = 2ß0ßi + Ф! ( а + |
ßtI + |
ß?s) + |
2ф2 (ißo + |
- f - |
ßoßlS |
|
|
v ßi ~h 2ф2 ( а + |
|
|
|
(545) |
Фг = |
ß il + |
ßi^). |
|
|
|
Фі СП = 0; ф2 СП = |
|
|
|
|
|
Алгебраические уравнения |
|
|
|
|
|
|
а я |
= |
2ß1m -f- 2ß0 + Фі |
|
+ у - |
ßi-S^ + |
|
ößo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
^ 2 ((2l + |
3ß1S )m + 2 ß o5 ] = 0 ; |
|
(546) |
dH |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2ß0m + |
Фл [(I + |
ßxS) m + |
ß0S |
+ |
— 2ßjr + |
у |
+ |
Ф2 [2 (I + |
2ßxS) Г + |
3ß0Sm] = 0 |
|
|
совместно с краевой задачей (544), (545) определяют оптимальные значения коэф фициентов ßo (0, ßi (О-
Решение краевой задачи упрощается, если сузить класс управлений, по ложив ß0 (t) = 0. В этом случае т (t) и Г (t) удовлетворяют уравнениям
т — |
а + |
ßj[| 4— ß?s) яг; |
|
Г = |
2 (а + ßji+ßfs) Г, |
(547) |
|
m (0) = |
х 0; Г (0) = |
|
Сопряженные уравнения (545) принимают вид
— 'Фі—'Фі(^а + ßil + ~2~ ßiS) ;
(548)
- ф2= о + ß? + Щ (а + ßil+ ß?s),
^ і ( Л |
= |
0 , |
4>-я-(-Г- -)Л ,. |
Второе из алгебраических уравнений (546) дает выражение для оптимального коэффициента ßi (і)
Уравнения (547), (548) для переменных яг, Г, фх, ф2 разделились. Таким образом, для определения оптимального управления
и (t, X) = ßx (t) X
необходимо решение уравнения (548) для ф2 (t) и использование формулы (549).
Пример. Рассмотрим задачу оптимального управления объектом второго порядка:
= |
х 2, |
х х ( 0 ) |
= |
х 10; |
х 2 — ~ ( « + |
І ( 0 ) * 2 + bu, |
х 2 ( 0 ) |
= |
х 20, |
где I (і) — центрированный стационарный «белый» шум интенсивности S. Как и в предыдущем примере, оптимальное управление ищется в классе
|
линейных |
управлений |
|
|
|
|
|
|
|
и ( / , х) |
= ßj (t) x 1 + |
ß2 (t) x 2. |
|
(550) |
|
Оптимизируется функционал |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
J { v n x \ (т) + |
v l2x x (T) x2 (t) + |
v22x \ (t) |
4- u2 (x)) dx. |
(551) |
|
|
o |
На рис. 48 показана структурная схема |
|
Объект управления |
|
рассматриваемой системы управления. Объект |
|
|
|
управления выделен штриховой линией. |
|
|
|
Применение результатов п. 3 гл. II и |
|
|
|
уравнения |
(550) дает |
следующие дифферен |
|
|
|
циальные уравнения для статистических ха |
|
|
|
рактеристик |
выходных координат |
объекта |
|
|
|
управления: |
|
|
|
|
|
|
щ |
0 |
|
1 |
m 1 |
|
|
|
т 2 |
6 ß 1 |
— |
6 ß 2 + - 2 - 5 |
m 2 |
|
Рис. 48. Блок-схема системы со |
|
|
m i (0 ) |
X10 |
|
|
случайным |
коэффициентом | (t) |
|
|
m 2 (0 ) |
X 20 |
|
Yu |
|
0 |
2 |
0 |
Y11 |
Y12 |
= |
6ßl |
— ß + 6ß2 -4—2~ ^ |
1 |
Y12 |
Y22 |
|
0 |
26ßi |
— 2 ( ä — 6ß2 — 5) |
y22 |
Y1 1 |
(0) |
|
*10 |
|
|
|
X2 |
Y1 2 |
(0) |
= |
*10*20 |
Y22 |
(0) |
|
*20 |
С учетом формулы |
(550) квадратичный функционал |
(551) |
преобразуется |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
1 — I [ ( » 1 1 + |
ßl) Yll + ( » |
1 2 + |
2ßiß2) Ѵі2 + |
( v 22 + |
ß2) Y2 |
2] ^т- |
о |
|
|
|
|
|
|
|
Максимизация функции Гамильтона |
|
|
|
|
н — ( f U + ßl) Ѵп + ( » 1 2 + |
2ßlß2) Ѵі2 |
+ |
( » 2 2 + |
ß2) Y22 |
' |
+ 2фцѴі2 + Фі |
^ ß i Y u + |
^ — |
a + ^ ß 2 + |
~ 2 |
s ' j Y12 + Y22 + |
+ Ф22 [26ßiYi2 + 2 (— а + 6ß2 + S) y22]
приводит к следующим выражениям для оптимальных значений коэффициен тов ßj и ß2:
ßi — ~2~ ^Фіг!
(552)
ß2 = 6ф22.
Функции фгу, і, j = 1, 2 удовлетворяют системе уравнений
Ф11 |
0 |
|
6ßi |
|
|
0 |
|
Ф12 = |
2 |
— а + |
6ß2 -j— — S |
26ßi |
(553) |
Ф22 |
0 |
|
1 |
|
|
— 2 (a — öß2 — 5) |
|
|
|
Ф11 |
|
»n + |
ßi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф12 |
+ »12 + |
ßlß2 |
|
|
|
Ф22 |
|
»22 ~b ß2 |
|
|
|
Ф11 (T) |
|
0 |
|
|
|
|
Ф12 (T) |
= |
0 |
|
|
|
|
Ф22 (Y7) |
|
0 |
|
|
На рис. 49 показаны графики коэффициентов ßj (t), ß2 (t), полученные пу’ тем моделирования уравнений (552), (553) на вычислительной машине. При мо"
делировании были приняты следующие значения параметров: а = 1, 6 = 1 ,
»11 = »22 ~ 0, ѵ12 = 1 .
Интенсивность мультипликативной помехи S варьировалась в пределах от О до 1, что отмечено на графиках. Сочетание параметров ѵи — ѵ22 = 0, ѵ12 — 1 практически означает, что требуется минимизировать конечное состояние объекта при интегральном ограничении на управляющее воздействие
т
1 = М 0,5х\ (Т) + I «2 (т) d%
О
Время управления Т полагалось равным 5 с.
Пример. Рассмотрим систему управления, содержащую мультипликативную помеху в канале управления:
%2» |
-^і (0) |
х10; |
Х2 = —ах2 + (6 + I (t))u, |
х2 (0) = |
х20, |
где £ (f) — центрированный стационарный «белый» шум интенсивности S.
Как и в предыдущем примере, поставим задачу оптимизации конечного со
стояния |
при интегральном |
квадратичном ограничении на управление: |
|
|
/ = М |
|
|
(554) |
При |
управлении конечным состоянием |
объекта целесообразно |
[16] |
ввести |
новые переменные |
|
|
|
|
|
|
г (t) = Ф (Г, |
t) X (t). |
|
(555) |
Здесь матрица Ф (Т, t) |
является решением дифференциального уравнения |
|
Ф (Т, t) = —Ф (Т, t) А; |
|
|
|
|
Ф (Т, Т) = |
Е, |
. |
(556) |
