Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

/

(t, х) —

А (t) X + г (t),

(102)

G (t,

X) -

В (і),

где А (f) — матрица

переменных

коэффициентов

размерности

В (t) — матрица переменных коэффициентов размерности

[я, т].

В рассматриваемом

случае исследуемая система управле­

ния (93) является линейной.

Для расчета с (t, х)

и Ѳ (t, х) представим приращение про­

цесса за время A t

согласно формулам (93) и (102) в виде

X (t

+ At) — X (t)

t+At

—

I

(А (т) X (t) +

t

+

Г (T) +

В (t) I

(T)) dr.

(103)

Тогда согласно определению вектора коэффициентов сноса вы­

ражение (100) примет

вид

t+At

1іш-г7 М

c(t,

х) =

J

(А(т)х(т) +

д/->о ш

+ г (т) +

В (т) I (т)) dr\x(t).

■■A(t)x-\-r(t).

(104)

ками (94) процесса

| (t):

't+At

ѲIt,

x) = lim т т Л4

j (Л(т)х(т)+г(т) +

t+At

a m аг

.

t

+ B{x)l{x))dx

J

{A{X)x{X) + r{X) + B{X)l{X))*dX\x{t) = x

t

-t+At

t+At

= lim 4 т M

J dx

J

dXB(x)Ux)¥ (X)B*(X) +

A M

tAt

‘ t+At

t+At

-f- о (A^) I x(t) =

X

: lim T T M j dx

J dX X

AM Ы

Y . B { x ) U x ) l * { % ) B * (Я) + о(Д 0

t+At

t+At

= l i m i

[

dx [

dXB (x)Qlx)B*(X) б (t — Я),

Дt->Q

І

,

3*

35

где о {At) является величиной более высокого порядка малости,

чем

At.

Выполняя операции интегрирования и перехода к пределу

при

At —>0, получим

Ѳ (t, X) = В (t) Q(t) В* (t).

(105)

В выводе формул (104), (105) было использовано свойство неза­

висимости значений нормально распределенного

«белого» шума

£ (т),

t <

т

<

t

+

A^

и условия

л: (f)

=

х.

Поэтому

't+At

=

-t+At

м

J

В (т) 1 (т) dx\ X (t) = X

м

J

В (т) 1 (т) dr

t

_

t

ч + л<

t+xt

{X) В* (X) IX (t) = X

М

J

dx

J

dXB{ т )6 ( т ) £ *

- t + A t

t + A t

1

=

М

J

dx

J dX В (т)

I

(т)

£*

(X) В* (X)

.

t

t

=

В (t) Q (t) В* (t) At

+

o {At).

с (t,

х) =

f

(t,

х);

(106)

Ѳ (t,

X) =

В (f)

Q (t)

В*

{t).

Случай, когда матрица G зависит не только от

времени t,

но

и фазовых координат объекта х,

будет рассмотрен

в п.

3 гл.

II.

Пусть диффузионный процесс х (f)

удовлетворяет следующим

условиям:

х\т,

у)

и

непрерывные по

переменным

1)

существует р (t,

X, у, t

и т < t частные

производные

dp(t,

X I т,

у)

дгр В,

х; х, у) .

ду

’

ду ду*

’

dp {t, х \ х , у )

д_

[С(/, х) p(t, X I т, у)},

dt

’ дх

4)

моменты приращения процесса выше второго порядка явля­

ются бескончено малыми более высокого порядка малости, чем Ы.

Здесь

оператор ~

является вектором-столбцом

размерности п

с элементами

і =

I,

2,

. .

п,

где yt — одна из

координат

вектора г/; оператор

ö2

— матрица размерности

[п,

п] с эле-

<Э2

1,

2

. .

п.

ментами з—з—, г, / =

дуі dyf

1

Аналогичное

содержание

имеют

операторы

и ^

.

В частности,

а зр

а 2р

д2р

дУх дух

духду2

дУх дуп

д2Р (t, X I т, у)

д2р

д2р

д2р

ду2 дУх

ду2ду2

ду2 дуп

дуду*

д2р

д2р

д2р

дУпдУх

дупду2

дуп дуп

dp (t, X Iт, у)

__

^

,л

ар fr, X I т, у)

дт

~

с

У>

ду

1_ fr

Ѳ(т,

г/)

д2р fr,

X I -t, у)

2

дуду*

dp (t,

x \ x t у)

d ) [с

*) р х \г’

+

dt

+

X tr [ д Ш * [Ѳ

$ р Ѵ’ х Iт’ ^)]

(107)

деления вероятностей

р (t, х)

=

| р

(t, х\х, у) р (т, у) dy.

Умножим обе части уравнения (107) на р (т, у) и проинтегри­

руем по переменной у.

В результате получим следующее уравне­

ние относительно р (t,

х):

d-Rr =

~

d

) ^

c (*• x) p V’ x)і +

+ - T tr

[ ш [Ѳ

х) р Ѵ’ хЯ. •

(108)

7? (0, х) = р о (х).

(109)

=- ( £ У [(А

rw) р &

+

~ ~ , B ( t ) Q { t ) B * ( t ) p ( t , X) .

Учитывая,

что

( ж ) * № № х + г W) Р (*>

=

= 2 W t

W х і + гі) Р V '

=

і, І

= 2

( А , !

(t) Xj +

r t) +

2 Au (t)

p (t , X) =

І , j

dp {t, x)~*

І

[■А (t) X +

r] +

[tr А (01 p (t, x),

dx

’dp (t, x)1*

[А (t) x - \ - r (^)I -f-

dx