Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
Для получения уравнения относительно характеристической функции следует левую и правую части уравнения (ПО) умножить на &'к*х и проинтегрировать по х. Тогда, применяя правило интегрирования по частям, получим
ö g jy , Я) __, у* а / а dg (t, X) |
+ ß*r(t)g(t, Я ) - |
|
|||||
т |
— к А \ч |
дх |
|
||||
|
- i x * ß ( / ) Q ( 0 ß * ( 0 W , X ) . |
(ill) |
|||||
Пусть начальное распределение р 0 (х) (109) нормально, так что |
|||||||
g |
(0, |
X) = |
exp |
ItYiok — |
Я DqK |
( 112) |
|
где |
|
т 0 = |
М [х (0)]; |
|
|
||
|
|
|
|
||||
D 0 |
= |
М [(х (0) — т 0) (х (0) — т 0) |
|
||||
Тогда решением уравнения (111) является |
|
||||||
g (t, |
Я) = exp |
j m |
(t) Я |
1 |
Я D (О Я |
(113) |
|
Таким образом, закон распределения случайного процесса л: (t) нормальный с математическим ожиданием т (t) = М [х(01 и дисперсионной матрицей D (і) = М [(х (t) — т (t) (х (t) — т (0)]. Для определения т (t) и D (t) выражение (113) подставим в фор мулу (111) и из условия тождественного выполнения уравнения получим:
т (t) = A (t) т (t) + г (/);
D (t) = А (t) D { f ) + D (t) А* (t) + |
(114) |
||
+ |
В (t) |
Q (t) В* (t). |
|
Согласно выражению |
(112) |
находятся начальные |
значения |
т (t) и D (t): |
т (0) |
= т 0; |
|
|
|
||
|
D (0) |
= D 0. |
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения (114) опреде ляют поведение вектора математического ожидания и дисперсион ной матрицы фазовых координат системы в произвольный момент времени. Эти уравнения впервые получены Дунканом [126].
Для произвольной нелинейной системы (93) найти аналити ческое решение уравнения А. Н. Колмогорова (108) не удается. Однако можно использовать выражения (108) для вычисления некоторых частных характеристик случайного процесса, напри мер его математического ожидания и дисперсионной матрицы.
Для нахождения уравнений, которым удовлетворяют момент ные функции, удобно воспользоваться описанным выше методом
характеристической функции. Аналогично тому, как было полу чено уравнение (111) для характеристической функции линейного марковского процесса, можно получить уравнение относительно
g (t, Я) для марковского процесса с |
произвольными известными |
|
характеристиками с (t, |
х) и Ѳ (t, х) |
[27, 29]: |
dg д/ Х) |
= М [jX*c (t, х) exp (ß*x)] + |
|
+ 4 М КА*) Ѳ *) (А) ехР (А**)Ь
Используя известное свойство характеристической функции [82], состоящее в том, что
/у+ѵ1— ^гп |
|
д 1 |
й (Л Яі, Я2, • • •, Хп) |
дХ^дХ^- • -дХгп
а = х = . . . |
= а, = о |
= (/у 1+ ^ + - + ^ Л1[ ^ 2. •Хп
можно получить уравнение относительно любой моментной функ ции исследуемого процесса. Для этого в уравнении в частных производных относительно g {t, X) необходимо представить g (t, X) рядом Маклорена:
g (tл ) = 1 + |
|
х=о + |
||
I |
_ L I* d2g (t, X) |
^ |
+ o (IA f)- |
|
^ |
2 |
dXdX* |
|
|
= 1 + A*m + |
4 - (A*) (D + |
mm*) (jX) + о (| Ä,f ), |
||
где ИЯI — норма |
вектора Я. |
|
|
|
Приравнивая коэффициенты полиномов по переменной Я в ле вой и правой частях уравнения, получим обыкновенные дифферен циальные уравнения, которым удовлетворяют моментные функции. В частности, рассмотрение линейных членов дает уравнение отно сительно математического ожидания
т = М \с (t, х) ], |
(115) |
а квадратичных членов — уравнение относительно дисперсионной матрицы
Ь — М [хс* (і, х) + с (t, х) X * + Ѳ (t, *)], |
(116) |
О
где X — X — т является центрированным вектором фазовых коо р- динат.
40
Для линейной системы управления система уравнений для т (t), D (t) не содержит других моментных функций случайного процесса. При исследовании нелинейной системы правые части
уравнений (115), (116) не являются |
функциями только т (t) и |
D (t), поэтому из этой системы т (t) |
и D (t) не могут быть одно |
значно определены. Действительно, пусть исследуются статисти ческие характеристики процесса х (t) на выходе нелинейной си
стемы (93) при G (t, |
х) |
= |
В (t): |
X |
= |
f |
(t, х) + В (t) I (t). |
Непрерывный марковский процесс х (f) характеризуется зна чениями с (t, х) и Ѳ (t, х), определяемыми формулой (106). Исполь зуя выражение (106), запишем на основании формул (115), (116) систему уравнений для математического ожидания и дисперсион ной матрицы рассматриваемого процесса:
т (t) |
= |
М [/ (t, X |
(/))]; |
(117) |
|
D |
(і) = |
М lx (t) f* |
(t, X (0) + |
|
|
+ f ( t , x |
(0) X* |
(t)] + В (f) Q (t) В* (t). |
(118) |
||
В силу нелинейного характера зависимости f (t, х (t)) от фазо вых координат X (t) правые части уравнений (11'7) зависят не только от ш (/) и D (t), но и от старших моментных функций. Поэтому система уравнений (117), (118) должна быть дополнена уравнениями относительно моментных функций выше второго порядка. Эти уравнения могут быть получены из уравнения А. Н. Колмогорова с помощью того же приема [29], который был использован при выводе формул (115), (116). При решении прак тических задач необходимо в бесконечной системе уравнений отно сительно моментных функций ограничиться конечным числом, уравнений. При этом относительно старших моментов, для кото рых уравнения отбрасываются, делаются некоторые предположе ния, позволяющие замкнуть систему уравнений для моментов. Отметим, что при возрастании порядка моментные функции могут существенно возрастать и потому предположение о равенстве нулю моментных функций выше некоторого порядка является грубым. Практически следует связать старшие моментные функ ции с младшими в соответствии с некоторым законом распределения фазовых координат. Такой подход означает аппроксимацию истинного закона распределения фазовых координат некоторым заданным законом. Усечение бесконечной системы уравнений для моментных функций дает один из возможных способов такой аппроксимации.
Векторное уравнение (117) содержит п скалярных уравнений, матричное уравнение (118) содержит п2 скалярных уравнений,
из которых 1^ линейно независимы. Число уравнений,
41
определяющих старшие моментные функции, быстро нарастает. Так, для моментных функций третьего порядка следует решать
систему из -п ^ ^ п —— линейно независимыхуравнений.
В связи со столь быстрым нарастанием объема вычислений при увеличении точности результата в ряде случаев можно считать обоснованным ограничение рассмотрения уравнений для первых двух моментных функций (117) и (118). Как указывалось выше, для замыкания этой системы уравнений необходимо сделать
предположение о |
поведении старших моментных функций. |
Если есть основание |
считать одномерный закон распределения |
случайного процесса л: (t) близким к нормальному, то старшие моментные функции легко могут быть выражены через т (f) и D (t). Предположение о нормальности закона распределения поз
воляет |
рассчитать |
выражения |
[3, |
4] |
|
||
|
W1 l t , m ( t ) , D ( t ) ] = M [ f ( t , x m = |
|
|||||
|
J dxf (t, x) exp |
|
|
~2 ~(x — m(t))*D 1(t)(x— m(t)) |
|||
V{2n)n\D(t)\ |
|
|
|
|
|
(119) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 [/, m (t), D (01 = |
M [X (0 Г V, * (0)1 = |
|
||||
|
= — - |
1 |
- |
f dx(x — m (/)) /* (t, x) X |
|
||
|
V W |D (0 l |
J |
|
|
|
||
|
X exp |
-y- (x — m (/))* D 1 (t)(x — m (/)) |
, |
||||
де Чг2 |
связано c T j соотношением |
|
|||||
|
Y2 |
(/, m, D\ - |
n |
Г |
3YX(t, m, m i* |
( 120) |
|
|
Г |
011 |
|||||
Теперь использование формул (119), (120) в выражениях (117), (118) позволяет записать замкнутую систему уравнений относи тельно т (t), D (O'-
m — W1(0 т, D);
D = |
dW1 |
dm |
dm |
D) - |
( 121) |
|
(t , m, D) n |
- ачт (t, m, |
|
+ ß(0Q (0540 -
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (121) должна решаться при начальных условиях
т (0) = /л0; ö (0 ) = D 0,
связанных с известным начальным распределением вероятностей фазовых координат.
Решение системы (121) дает приближенные значения матема тического ожидания и дисперсионной матрицы процесса х (О-
42
Точность результата зависит от возможности аппроксимации истинного закона распределения р (t, х) нормальным.
Выше указывалось, что одним из наиболее сложных вопросов в процедуре замыкания конечной системы уравнений для моментных функций является предположение о характере поведения старших моментных функций. Эта трудность практически не воз никает, если в качестве характеристик закона распределения выбрать не моментные функции, а семиинварианты [27]. Известно, что первые два семиинварианта совпадают с математическим ожи данием и дисперсионной матрицей процесса х (t). Семиинварианты более высокого порядка имеют тенденцию стремиться к нулю при увеличении порядка, а для нормального закона распределения семиинварианты, начиная с третьего, тождественно равны нулю. Поэтому для замыкания бесконечной системы уравнений относи тельно семиинвариантов естественно положить равными нулю семиинварианты выше k-ro порядка. Если k = 2, то система уравнений относительно первых двух семиинвариантов совпадает с системой (121). Увеличение точности, связанное с рассмотрением семиинвариантов выше второго порядка, как и при рассмотрении моментных функций, требует существенного увеличения объема вычислений.
5.Основы метода статистических испытаний
Впредыдущих параграфах были рассмотрены методы анализа стохастических систем автоматического управления, основанные на сведении исходной статистической задачи к задаче решения некоторой детерминированной системы уравнений. Эти методы обычно оказываются эффективными только для определенных
классов систем, где требуется или линейность системы, или огра ниченное число нелинейностей, или ограниченность порядка диф ференциальных уравнений системы. Подобные методы полезно применять на предварительном этапе проектирования, когда можно ограничиться относительно простой моделью системы. Наиболее общим методом анализа систем управления и по этому обычно наиболее дорогим в смысле использования машинного времени является метод статистического моделиро вания.
Метод Монте-Карло состоит в последовательном многократном решении уравнений, описывающих'~работу системы при различ ных реализациях случайных входных сигналов. Для каждого решения вычисляется значение критерия качества системы. Окон чательное среднее значение показателя качества работы системы обычно определяется как среднее арифметическое значений кри терия для всех проведенных решений.
При практической реализации метода статистических испыта ний на ЦВМ необходимо построить дискретную модель системы, которую было бы удобно реализовать на вычислительной
43