Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

машине. Чаще всего эта модель строится в виде дискретных урав­ нений вида

X (0) = х°

или в более общем случае

системы; | (ІД) — случайное возмущение на і-шаге.

Обычно исходная анализируемая система управления задается системой дифференциальных уравнений. В этом случае переход к дискретной модели осуществляется на основании использова­ ния численных методов решения систем дифференциальных урав­ нений. Теория точности численного интегрирования заданной системы дифференциальных уравнений довольно хорошо разра­ ботана [14, 68, 114].

Следующим этапом применения метода Монте-Карло является задача генерации случайных параметров х° и возмущений \ (ІА) (г = 1 ,2 ,3 , . . .) в полученной дискретной модели (122). Совмест­ ный закон распределения х° и £ (ІД) обычно нетрудно получить на основании анализа статистических характеристик случайных воздействий в исходной системе и метода построения дискретной модели. Существует два принципиально различных подхода к ге­ нерации случайных воздействий при статистическом моделиро­ вании на ЦВМ.

Первый подход основан на применении специальных устройствдатчиков случайных величину в которых используются случайные физические явления (радиоактивный распад, тепловые шумы в лампах и др.). Такие датчики дают последовательность истинно случайных чисел, которые не могут быть предсказаны или повторно воспроизведены.

Во втором подходе используются программные методы полу­ чения реализаций случайных чисел, с помощью которых происхо­ дит непосредственная генерация случайных чисел в ЦВМ. Строго говоря, эти числа не являются истинно случайными, так как всегда можно предсказать будущее случайное число и повторно воспроизвести всю последовательность. Поэтому такие последо­ вательности чисел называются квазиили псевдослучайными. Однако, как показывают теория и эксперимент, к результатам моделирования при использовании псевдослучайных чисел можно применять те же самые формулы оценок, что и при использовании истинно случайных чисел. Причем возможность повторного вос­ произведения псевдослучайной последовательности упрощает про­ цедуру отладки и проверки используемых алгоритмов.

44

Обычно моделирование случайных или псевдослучайных воз­ мущений разделяется на две подзадачи. Сначала вырабатывается последовательность независимых равномерно распределенных на отрезке [0, 1 ] чисел. Затем путем математических преобразований из последовательности равномерно распределенных чисел гене­ рируются случайные возмущения х° и £ (г'Д) с заданными стати­ стическими характеристиками.

Подробный анализ методов получения равномерно распреде­ ленных случайных чисел приведен в ряде работ [18, 24, 76]. Вопрос выбора математического преобразования для решения второй подзадачи приведен в работах [18, 76, 34].

После генерации случайных возмущений х° и £ (/А) произво­ дится решение системы дискретных уравнений (122). Предполо­ жим, что в результате анализа требуется определить математиче­ ское ожидание значения функции ср (х (тД)). Обозначим через фг значение функции ср для і-й реализации решения системы (122).

Тогда оценка искомого математического ожидания т после про­ ведения N реализаций будет определяться выражением

Дисперсия оценки математического ожидания имеет вид

В основе применения метода Монте-Карло лежит закон боль­ ших чисел. В форме Чебышева этот закон формулируется следую­ щим образом: пусть случайная величина имеет математическое ожидание т и дисперсию а 2. Тогда для оценки математического

ожидания т, полученной после проведения N испытаний, спра­ ведливо следующее неравенство:

(123)

где в — любое положительное число.

В случае, когда случайная величина имеет конечный централь­ ный момент третьего порядка ß3, неравенство (123) может быть заменено [38 3 более жестким условием вида:

СО

Р (т — т > е)

eVN

О

(124)

45

где константа с0 удовлетворяет условию

0,3989 ^ с0 < 0,9051.

Применение неравенства (124) требует знания второго и третьего центральных моментов случайной величины ф, что практически создает неудобства. При достаточно большом зна­ чении числа испытаний N на основании центральной предельной

теоремы можно считать, что оценка т имеет нормальный закон распределения. В качестве значения дисперсии сг2 в этом случае

можно принять оценку дисперсии D вида

Тогда вероятность того, что погрешность метода превышает величину е, определяется выражением

СО

Vs

Формула (125) чаще всего используется для оценки точности вычислений по методу Монте-Карло. Задаваясь допустимой по­ грешностью вычислений е* и допустимой вероятностью превыше­ ния этой погрешности р*, по формуле (125) можно рассчитать необходимое число статистических испытаний N. В частности, подставляя заданные значения р* и е* в уравнение (125), получим уравнение относительно параметра N:

СО

Vd

Из соотношений (123), (124) или (126) следует, что при фикси­ рованной вероятности р превышения допуска е величина допуска прямо пропорциональна среднему квадратическому отклонению случайной величины ф и обратно пропорциональна квадратному

Заметим, что в соотношении (127) коэффициент пропорциональ­ ности k зависит только от вероятности р превышения погрешности уровня 8 и не зависит конкретно от существа решаемой задачи анализа. Это общее соотношение справедливо для любой реали­ зации метода Монте-Карло.

46

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Линейные стационарные системы со случайными параметрами

В этой главе будут рассмотрены некоторые подходы к анализу систем управления, содержащих случайные параметры и слу­ чайно изменяющиеся во времени коэффициенты.

Точное аналитическое решение задачи анализа автоматических систем со случайными параметрами найдено лишь для простейшей параметрической системы, описываемой линейным дифференциаль­ ным уравнением первого порядка [95, 145]. В других случаях известны лишь приближенные методы анализа. Некоторые из ав­ торов пошли по пути изыскания возможностей сокращения числа испытаний, необходимых для анализа систем со случайными пара­ метрами методом Монте-Карло. Один из подобных алгоритмов определения статистических характеристик выходных координат

Б. Г. Доступовым предлагается проводить испытания в заранее рассчитанных точках, выбор которых связан со статистическими характеристиками случайных параметров. Один из способов вы­ бора расчетных точек для проведения нестатистических испыта­ ний был предложен А. И. Авербухом [1]. Увеличение точности результата, возможная корреляция параметров, а также возра­ стание их числа значительно затрудняют определение расчетных точек и существенно увеличивают объем вычислительной работы.

Еще один метод анализа систем управления со случайными параметрами, основанный на проведении нестатистических испы­ таний, предложен В. И. Чернецким [ПО, 111].

Все перечисленные методы могут быть применены к широкому классу нелинейных автоматических систем со случайными пара­ метрами.

В последние годы широкое развитие получила теория чув­ ствительности [112, 47]. Рядом авторов разработан удобный метод моделирования функции чувствительности для линейных систем со случайными параметрами [48, 19]. Дальнейшее развитие теории чувствительности применительно к системам со случайными пара­ метрами дано в работах Л. Г. Евланова [31, 32]. Следует отметить, что разложение реакции системы в ряд Тейлора по параметрам и

48

ограничение линейной или квадратичной его частью возможно только при малых отклонениях параметров и поэтому при реше­ нии практических задач не всегда дает удовлетворительную точ­ ность. Увеличение же точности за счет старших членов ряда Тейлора приводит к существенному увеличению объема вычис­ лений.

Изложенные методы анализа линейных систем управлеяия со случайными коэффициентами позволяют построить конечную систему дифференциальных уравнений относительно математиче­ ского ожидания, дисперсии и других моментных функций выход­ ных координат системы. Дальнейшее применение средств вычис­ лительной техники дает возможность рассчитать численные зна­ чения этих статистических характеристик.

В этом параграфе будут рассмотрены автоматические системы, математической моделью которых являются линейные дифферен­ циальные уравнения с постоянными коэффициентами. Вследствие неточности реализации систем некоторые параметры не строго фиксированы, а принимают значения из заданной области с опре­ деленным распределением вероятностей. В этом случае параметры, имеющие разброс возможных значений, рассматриваются как случайные величины с известным законом распределения вероят­ ностей. Причиной разброса значений параметров могут быть и непостоянные условия внешней среды, которые неодинаковы в разных реализациях.

Во всех работах, посвященных анализу динамических систем со случайными параметрами, для определения статистических характеристик выходных координат проводится непосредственное усреднение функции случайных аргументов. Пусть, например,

а также метод функций чувствительности представляют собой различные способы приближенного численного интегрирования выражения (128). Эти способы не связаны со свойствами функций X (t, a lt а 2, . . ., ak) и ф [л:] и потому обладают универсаль­ ностью.