Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Pi ( 0^ , 'е ^ ;

т т М

= р

02) < ^

(1.3.1)

г

п

п

0(«) = JHl~ ,

,0(«)

=

_^!jL

О < ; т х <* т 2 <

п .

П усть

является

наименьшим корнем уравнения

F(x)

=

_ ^ L

=

0W,

п

-а

^

— наименьшим корнем уравнения

/Я2

F (х)

=

3

-

=

0(»>.

п

Тогда очевидно, что вероятность

(1.3.1) совпадает

с веро­

ятностью

выполнения неравенства

Sn(x) <

F (x)

+

J i -

(1.3.2)

для

всех

х в сегменте

[с

,

с

1.

1Ът1 '

ъ/л2

J

Обозначим

Pn(s1, s2)

вероятность

одновременного

выпол­

нения

равенств

_

s,

S n

( ^

)

^1

=

Я

(1.3.3)

5 п ( § м

) = —

т2

п

:где

О ^

Sx <

52 ^ tt ,

и

Р$

(р; п) — условную

вероятность

неравенства (1.3.2) для

всех

х,

£

при выполнении (1.3.3).

Тогда

(е^.,

е(«);

- * Ц

=

^

Рп(^ з 2)Р515а(р;п). (1.3.4)

'

У п J

0<s1<s2<n

п !

Рп (Sl> S2) — s! (s2—

[9(^ ]Sl [0(»> - e(«)]S2~ si[ i — et

— s2)I

(1-3.5)',

Для условной

вероятности Р

(р; п)

имеем

Si So

Р8 ( ц ; я ) = о

,

(1.3.6)

г>1 s2

s , ( * ) < s .< {

) =

— - <

е<;> +

Л - _

п

П

= F(lm ) +

J

L

<

f (*) +

J L ,

т1

п

п

и поэтому

(1.3,7)

Теперь предположим,

что

si < Щ + р , s2< т 2 + р ,

. •/

в силу чего на концах сегмента [ £П11 ,

£/7^2 ]

кривая Sn {х)

прой-

дет ниже, кривой у =

Д(х) +

— ,

ограничивающей

полооу:

•)

п

Пусть, далее,

Я,, ...

, h

—■titi— количества наблюдений,

«топавших в интервалы

)

со­

ответственно.

Е

кривая Sn (х)

Если на сегменте

[£

,

]

выходит за

ПХ2

I 1

границу полосы

С£,

то,

как

мы

видели, одна

из

точек

ка

Ет +

,

то

мы будем

говорить,

что

произошло

событие

Л„(а). Заметим,

что точки

Е

,

Е

при

наших

предположе-

ниях относительно

%

и s2 заведомо

не

могут быть

точками

входа, т.

е.

события

Л0(а) и

Л _

_ (а) невозможны.

Полагая m =

т2 — т х, имеем

т

1 — ^SlSa(^;«)= р { и 4 W I -

q=l

Пусть Uг — событие,

заключающееся

в том,

что

из после­

довательности

Л1(р.),. . . , Лт (ц)

первым

появится

событие

Лг (р), г ^ т ;

тогда

. ..........

V, =

ЛН ^) - * - # -i(l* M ,G i) ,

■ I I

> i . : 1 .

где

Л| ([л) — событие,

противоположное Ак(р).

События

Ur несовместны.

Следовательно,

т

Р {

U 4 g(p)) =

Y ] p { f / r }.

(1.3.8)

С другой

стороны,

• Р { А » } = ^ ] Р { ^ } Р { Л д(р.) |Л,(1»)}. 7 = ТГ^Г,

(1.3.9)

Если происходит событие Aq{р), то

с /с

ч , т 1 + Я + Р

s »(g„l+9) + -----------------

но при наших предположениях

S « (5 m ) =

^

Щ

п

и поэтому

Щ -'г 94* Р — Si

т. е.

П’

Ц" ^2 4*

■■■ 4* hq — т\4~ 9/4* р — Si -.

( 1.3.ю >

Событие

Ад (р)

равносильно выполнению равенства (1.3Л0).

Таким образом,

Р i Aq(Р)} — Р {К 4-

К -f-

••• -f- hq.=

яч — sx -|- Р' 4- q}

при условии, что

4" ^2 4* •••4- hq =

s .

Отсюда, принимая во внимание, что вероятность попадания-

в каждый

из интервалов

(§

,

. ,

?

.

) равна — , бу-

дем иметь

% т 9 —

1

~mi +

Я

т

s!

q \ 7 -f- <7/ m — q \s — l— q

Р М , ( р ) }

=

m l

\ m )

v

(l 4* q) ! (s - I - q) 1

где

(1.3.11)

Положим

l = т1+ р — st

(/ ^ 0).

e--? /т?+й

Pq(P) -

P o ( 0 ) = l -

(1.3.12).

-

-

-

-

,

(9 4- P)!

Пользуясь (1.3.12), (1.3.11) можно представить в виде

Р { Aq (р)}

=

P^

l\P^ t

- J

r

. т) .

(1.3.13).

P m ( s - m ),•