ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
Возьмем распределение температуры в области 1 из точного решения:
Л= П ------- №28)
Фу Ѵ ъ .
Вбезразмерных координатах соответственно из уравнений (Ѵ.27) II (Ѵ.28) получим:
|
ѳ х = і - |
1 -_0 |
рх. |
ѳ = |
— |
• |
(V.29) |
|
L |
|
' |
Т |
г ' |
|
|
01 |
1 - Ѳ я |
Ф |
|
|
|
|
|
= 1 . |
Ѵ ^ |
т ) . і = ѵ '« . |
(у -3°) |
||||
|
|
|
|
||||
Ф
Сопоставление результатов определения приближенного значе ния температуры в области 1 по формуле (Ѵ.29) и из точного реше ния (Ѵ.ЗО) для промерзания воды приводится в табл. 28. В расчетах приняты следующие параметры: аг = 0,001 см2/с; аг = 0,0005 см2/с; Ѳр = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
28 |
|
Безразмерные |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
координаты |
||||||||||||
Приближенное значе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
температуры |
1 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0 |
(ii.li) ................... |
||||||||||||
Точное |
значение тем |
1 |
0,89 |
0,79 |
0,69 |
0,59 |
0,49 |
0,39 |
0,29 |
0,19 |
0,10 |
0 |
пературы (11.12) |
||||||||||||
Относительная погреш |
0 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0 |
0 |
|
ность |
................... |
|||||||||||
Как видно пз табл. 28, применение метода последовательной смены стационарных состояний к области 1 дает достаточно высокую точность. Исходя из этого делается вывод, что в области новой фазы эффективным является указанный простой метод. В области 2 при меняются более точные методы. Комбинированные решения, полу ченные таким образом, являются достаточно точными и простыми в инженерных расчетах.
Возьмем в области первоначального состояния автомодельное решение
erfc
Т 2 = Т 0- ( Т 0- Т р)---- |
(V.31) |
егГс |
Уnot |
, 2 |
12 Заказ 633 |
177 |
Из условия неразрывности теплового потока на границе фаз следует
А'! дТ 1 |
Л*2 дТо |
. дІ |
(V.32) |
|
дх |
дх |
Лр Щ • |
||
|
Удовлетворяя условию (V.14), из уравнения (V.31) получим:
к1 (Гр-Гг) А'2 {т° ~ Тр) ех>3( “ ^ |
) |
(V.33) |
И ла 2 erfc ( ---- ■! |
|
:XP är* |
2 Кяо« |
|
|
Решение этого дифференциального уравнения ищем в виде:
S = ß l/£ |
(V.34) |
Подставим решение (V.34) в условие баланса тепла (Ѵ.ЗЗ). После несложных преобразований получим:
рехК“і£) , |
|
= 0. |
(V.35) |
|
|
* і ( Г р - Г г ) |
|
Ѵлао erfc |
2А'з (Г0 —-Гр) |
к, (Т0- Г р ) |
|
|
|
|
|
2 |Ѵ 2 |
|
|
|
Из (Ѵ.35) вытекает характеристическое уравнение Л. С. Лейбензона, если предположить:
Обозначим |
-ехр Швг‘с(т^г)=1- |
(V.36) |
||
|
|
Z = ß*2 |
* |
(V.37) |
|
|
4ао |
|
|
Тогда из уравнения |
(Ѵ.35) найдем |
|
||
2 V T e~z |
. 2Xpa2z |
* і(Г р—Гг) = 0. |
(V.38) |
|
/ Г |
erfc |
A-г (Го Гр) |
A-о (Го Гр) |
|
Решение этого уравнения можно найти как точку пересечения кривой зависимости:
с прямой линиеи |
f(z) = Нд erfc И z |
|
|
(V.39) |
||||
к \( Тр —Гг) |
2A,pa2z |
|
|
|||||
|
|
HZ)- |
|
(V.40) |
||||
|
|
^"2 (Го—Гр) |
ко (То |
Гр) |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
В точном |
решении |
характеристическое |
уравнение |
имеет вид: |
||||
кг (Тр— Гр) ехр |
(-£) |
к%(То— Тр) ехр V |
|
: Х р а — ^ - |
||||
|
|
4^0 / |
л |
Ѵл |
||||
V а1 erf ( |
2 Ѵ~г ) |
|
V~öö erfc Ш) |
|
(V.41) |
|||
178
Отсюда получается решение (V.35), если
ехр |
(V.42) |
Из анализа сделанных допущений видно, что наиболее вероятным при малых аргументах является условие (V.36). Пользуясь только им, из (Ѵ.ЗЗ) получим
е Х *5 ( |
Аа\ ) , |
^ і У а і { Т о — Тр) |
X p Y n a ^ a |
(Ѵ.43) |
||
crf ( |
а _ |
\ ~ + |
А-i Ѵ Г * ( Т Г ~ Т Г) |
(Г р -Г г) |
||
|
||||||
V2 Ѵ ах |
) |
|
|
|
||
При решении этого уравнения можно воспользоваться графиком, |
||||||
приведенным в работе |
[121. Отличие в решениях заключается лишь |
|||||
в проведении прямой линии, которая в данном случае не проходит через начало координат.
Возьмем в области 2 распределение температуры по методу осред нения [12]:
(Ѵ.44)
Продифференцируем уравнения (Ѵ.27) и (Ѵ.44). Результаты под ставим в (Ѵ.32):
Т г — Т р |
, 2 ( Т р — Т о) |
д і |
(V.45) |
|
К |
А*. ----— |
---- = ЛР ~ёТ ■ |
||
|
L - 1 |
|
|
|
Найдем количество тепла, аккумулированного в призме единич ного сечения области 1:
<?! = сіР { (Т, - Т 0) dx = сіР |
т ' + т р~ 2Т?_ t |
(V.46) |
О |
|
|
Количество тепла, аккумулированного в области 2, |
будет: |
|
q2 = c,p (Tp- T 0) |
^ . |
(V.47) |
Скрытая теплота гидратообразования будет
Q3 = k p t |
(V.48) |
Общий расход тепла равняется сумме трех составляющих:
Q — Q i + (?2 + Q з- |
("V-49) |
Определим из (Ѵ.27) плотность теплового потока в начале призмы
^ ^ ( Т г - Т р ) . |
(Ѵ.50) |
12* |
179 |
Из условия
|
|
|
(V.51) |
получим |
|
|
|
Т г + Т р - 2 Т о |
m \ d {L — |
*1 (Гг—Г„) |
|
■ к р ) ^ + с іР(Тр |
|||
2 |
^ 3 dt |
I |
• |
|
|
|
(V.52) |
В общем случае необходимо решить систему обыкновенных диф ференциальных уравнений (V.45) и (V.52). Интегрирование этих уравнений очень громоздко и неудобно для практических расчетов, поэтому рассмотрим сначала частный случай таяния или образова
ния льда (Тр — 0) |
при Т 0 = 0. |
Для |
этого из (V.52) получим: |
|||
|
I dl = ----- ^ |
---- dt. |
|
(V.53) |
||
|
ciP “2^ + |
^Р |
|
|
||
Проинтегрируем |
уравнение |
(Ѵ.53): |
|
|
||
|
t = |
£ |
і Р |
_ \ _ | І |
|
(V.54) |
|
2/fi |
) 2 |
■ |
|||
|
ЬіТ г |
|
||||
Формула (V.38) полошена И. А. Парным [66]. Принимая сх = 0, приходим к решению Л. С. Лейбензона. При сравнении формулы (Ѵ.54) с точным решением в и д и м , что погрешность получена менее 2%.
Для Тр = 0 применим приближенный метод решения И. А. Пар ного. По этой методике вначале предполагается, что все тепло, под водимое к открытой границе полубесконечиой призмы, тратится только на нагревание области 1 и изменение первоначального агре гатного состояния. Во второй области тепловых утечек нет. При таком предположении получается завышенное значение величины распространения нового агрегатного состояния.
Обозначим завышенное значение распространения области 1 через I', аккумулированное количество тепла через Q' , при этом будет L = £'. Тогда из (V.49) и (V.52) получим:
|
|
Т г + Т р - 2 Т 0 |
|
(Ѵ.55) |
||
|
<?' = (^P Н- сіР |
2 |
|
|||
t |
Яр |
. |
Т г + Т р — 2 Т 0 |
І І |
(Ѵ.56) |
|
k ^ T r - T p ) + C l P |
2/і‘х ( Т г — Тр) |
|||||
|
2 |
|
||||
Оценим верхний предел утечки. Для этого примем, что темпера тура Тг в открытом конце призмы и Тр на линии изменения агрегат ного состояния возникает одновременно.
Обозначим температуру во второй области через Т\. Очевидно, что То > Т 2. Поэтому количество тепла, прошедшего через границу изменения агрегатного состояния, принятую теперь неподвижной, будет верхним пределом тепловой утечки во вторую область. Обозиа-
180