ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
чим это количество тепла через Q". Величину Q" можно вычислить точно и приближенно. Точное вычисление выполнено И. А. Чарпьш. При этом предполагается, что границы изменения фазы и открытия совпадают, т. е. Тр возникает в сечении х = 0. Тепловой поток определяется известным уравнением теплопроводности
<7= |
Л-о (Тр- Т о) |
(V.57) |
|
|
a-2t |
Утечка Q" будет:
t |
|
Q" = J q2dt = y = r c2p (Tp- T0) |
(V.58) |
о
Приближенное вычисление тепловой утечки во вторую область произведено И. А. Парным методом последовательной смены стацио нарных состояний. Здесь мы примем более точный метод — осредне ние правых частей дифференциальных уравнений теплопроводности.
Следуя И. А. Парному, введем понятие фиктивного «бегущего» радиуса «теплового влияния». Распределение температуры на длине L принимается по методу осреднения
|
П = 1 \ + { Т р - Т 0) ( і - ^ - ) \ |
||
Тепловая |
утечка будет: |
|
|
|
Q" = с2р j(П - Т 0) dx = Ч9{Тр- Го) L |
||
Плотность |
теплового потока |
составит: |
|
|
Qo— ^2 дТо (О, і) |
2А-2 {Тр-То) |
|
|
L |
||
|
дх |
|
|
Из условия
dQ"
dt
найдем
(Ѵ.59)
(V.60)
(V.61)
(V.62)
сг9{Тр —То) |
dL |
2А2 (Тр— Т0) |
(V.63) |
|
3 |
d f ^ |
Z |
||
|
||||
Проинтегрируем полученное уравнение |
|
|||
|
|
|
(V.64) |
|
Подставим уравнение (V.48) в (V.44). После преобразования |
||||
получим: |
|
|
|
|
Q |
С2р (Тр |
Т0) |
(V.65) |
|
18!
Сравним с точным решением:
6 |
2 |
1,02. |
= / З ' Ѵп |
Расхождение с точным решением составляет 2%. Метод последо вательной смены стационарных состояний в решенной выше задаче дает погрешность 11,4%.
Исходя из того, что разность, вычисленная по формулам (Ѵ.55) п (Ѵ.58), будет несколько меньше истинного количества тепла, аккумулированного в первой области, определим нижний предел распространения области 1.
Из уравнений (Ѵ.55) и (Ѵ.56) найдем
/к р
кі ( Т г - Т р)
21
-сір
(Ѵ.66)
Т г + Т р - 2 Т 0 *
2 к 1 ( Т г - Т р )
Т г - \ - Т р — 2 Т 0 ] т„ |
2 |
_ г /гр |
т N |
|||
Q ' —Q" — U-p + сіР |
|
Т, |
*— с.,р (Тр |
^О) I' ^2 ■ |
||
|
|
|
/ л |
|
|
|
= U p -г сір |
Тг + Т р ~ 2 Т 0 |
|
(Ѵ.67) |
|||
|
|
|
||||
І " = |
кр |
|
Т г+ Т р - 2 Т 0 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
*1 ( Т т- Т р ) |
2* і ( 7 - г - Г о ) |
|
||||
2 |
с2р(Гр—Г0) Уооі |
|
(Ѵ.68) |
|||
Ѵ з Г , |
Г г + Г р - г г о |
|||||
|
||||||
|
к р + СіР --------------- л--------------- |
|
||||
Истинное значение £ лежит в пределах |
< | < |
£'. Формулы |
||||
(Ѵ.55)—(Ѵ.58) и (Ѵ.66)—(Ѵ.68) |
от |
соответствующих уравнений |
||||
И. А. Парного отличаются тем, |
что в нашем случае первоначальная |
|||||
температура тела не равняется нулю. Точность их будет такого же порядка, что н у формул И. А. Парного.
Более точное и простое решение поставленной задачи можно получить при комбинированном методе.
Приведем решение только для одной рассмотренной выше задачи. Применяя известные приемы, из уравнений (Ѵ.45) и (Ѵ.52) полу
чим:
d L |
|
А Ц + N L |
(V.69) |
|
dl — Ahl + NiL |
||||
|
||||
Решим уравнение способом, предложенным А. X. Мирзаджан- |
||||
заде И К. Н. Джалпловым: |
|
|
|
|
і - Ѵ |
2 |
C(ß—\) + D |
(V.70) |
|
|
^ (P —1) |
|
||
182
где ß является положительным корнем уравнения,
М + (N - Мх) р- N xр2 = О, |
(V.71) |
|
где |
|
|
M = (A —B)(C + D ) - C E ; |
M X= —B{C+D)-, |
N = (Е — А В ) C', |
N x — ВСХ\ |
Тг-тТр - 2 Т 0 |
■Хр; |
А =схр ■ |
||
В =-Y~(Tp — Toy, с = кх(Гр — Тр); |
||
D = - 2 k 2(Tp- T 0); Е = Ьр. |
(V.72) |
|
Более точные уравнения получаются при комбинировании после довательной смены стационарных состояний с решениями, выпол ненными с учетом зависимости скоростей изменения температуры от времени и координат.
Для распределения температуры примем:
(ПТ*
д.г-2
При граничных условиях
То{1, t) — Tp= const .
To(L, <) = Г0 = const .
d T 2 ( L , t) |
= o |
dx |
|
найдем:
(V.73)
(V.74)
(V.75)
(V.76)
(V.77)
Выполнив соответствующие расчеты и в данном случае получим решение (V.70). Отличными будут только коэффициенты:
В = ^ ( Т р- Т 0У D = — Зк2{Тр Т 0). |
(V.78) |
Плоско-радиальный пласт
В области разложения гидрата возьмем логарифмический закон распределения температуры
Тр— Тс |
г |
(V.79) |
Тг = Та + ----- в— 1п т - ’ |
||
to re
где Тс — температура на забое скважины; R — радиус разложения гидрата.
183
В области 2, следуя Л. С. Лейбеызону, примем интегрально-пока зательную функцию:
Т2 = Тр |
ч |
Ri\ |
(V.80) |
4л/і-2/г |
4по/ / |
На подвижной границе разложения гидрата соблюдается условие:
7 \ 7 |
» л TI7 dН |
(Ѵ.81) |
|
|
|
Решение дифференциального |
уравнения (Ѵ.81) |
ищем в виде: |
R = }/ f t . |
(V.82) |
|
Перепад температуры в области 1 определяется уравнением:
Тс— Тр —q ln j'lnk^h. |
(V.83) |
Подставим (V.79) и (V.80) в (V.82). С учетом зависимостей (V.82) и (V.83) получим уравнение для определения постоянного коэф
фициента закона |
расширения |
области |
разложения |
гидрата: |
r â |
- [ ' - “ p ( |
- ^ r ) ] |
- - 4 w |
< ѵ - 8 4 > |
§ 3. Разложение гидратов газа путем подогрева газогндратноіі залежи через подошву термальными водами
Рассматривается задача Стефана с тем только отличием, что тепло к телу подводится через промежуточный тугоплавкий слой. Ріа прак тике такие задачи могут встречаться, например, при плавлении льда, заключенного в сосуд, в металлургических процессах, газонефтяпом деле при нагревании гпдратных залежей термальными
водами.
Для приближенного решения задачи применим комбинирован
ный метод.
В промежуточном (буферном) слое, который в дальнейшем будем называть областью 1, распределение температуры возьмем по урав
нению : |
|
Т, = ТГ+ Т' ~ Тг X, |
(Ѵ.86) |
где L 1 — толщина буферпого слоя. |
|
Для области нового агрегатного состояния, обозначаемой через 2,
принимаем аналогичный закон: |
|
|
Т2 ■-=Г + |
ix - L ,), |
(V.87) |
где L2 — координата разложения |
гидрата. |
|
Следуя Л. С. Лейбеизону [17], к области 3 первоначального агрегатного состояния применяем закон Гаусса:
Тя= Т р- ( Т р- Т 0)е p f f = i f - . |
(V.87) |
2 У «3f
В формулах (V.85), (V.86) и (У.87) обозначено: Тг — постоянная температура на открытой границе; Т' — температура на границе промежуточного слоя и области 1; Ь г — длина промежуточного слоя; Ь 2 _ расстояние до фронта изменения агрегатного состояния.
Остальные обозначения здесь и далее общепринятые. Из условия на границе 1 и 2 имеем:
|
|
|
|
|
(Ѵ.88) |
иайдем |
(L-i — L\) /і'іТг + L\koТр |
|
|||
|
(Ѵ.89) |
||||
|
|
koLi~\-(L.2 — Li) Л'х |
|||
|
|
|
|||
Возьмем уравнение |
смыкания областей 2 |
и 3. При х — Ь 2: |
|||
7 |
дТо |
у |
дТ$ |
■Х.р dLо |
(V.90) |
- |
дх |
J |
дх |
dt |
|
Подставим условия |
распределения температуры (V.86) и (V.87) |
||||
в (V.90) |
|
h ( T p - T 0) |
dLi |
||
/■-О(Т' — Тр) |
|||||
L2 — Li |
|
У siast |
^ |
(V.91) |
|
|
dt |
||||
Переменная температура между областями 1 и 2 заключена в пре делах температур разложения и граничной. Поэтому в уравнении (V.91) можно пользоваться ее средним зиачеипем. Прп тонком про межуточном слое более точным является принятие Т' = Тт.
Тогда решение уравнения (V.91) будет записано в виде:
г , |
ѴЦ(Тр- Г 0уі+ 2 ла3Хрк2 {Тг - Т р) - к 3 (Тр- Т о ) і / 7 - |
пчч |
L2--=L^ r |
l/t. |
|
Если толщиной промежуточного слоя пренебрегать нельзя, можно предложить следующий приближенный способ решения.
Учитывая малое изменение температуры на границе областей 1 и 2, уравнение (V.91) решаем, полагая ее постоянной. В полученное решение подставляем значение этой температуры из (Ѵ.89) и из корня квадратного уравнения находим искомый закон движения границы изменения агрегатного состояния:
Нл(73 A.pLi/t'2 —2/ьцА'з ( Т р — То) Y T
L, = U |
9 V |
. ХпА*-. |
|
||
1f [ Кл«з крЬік2— 2/іц/сз (Тр-— То) Y t |
]2+ 8ЯП3/1\к2 (Тг— Тр) t |
|
|
|
(Ѵ.93) |
2 Ѵ л с із Хрк-і
185