Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ U

в теории вероятностей, но для наших целей удобно

ввести

это

предположение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если эти условия

выполнены, то (Q, зФ, Р) называется

вероятностным

пространством.

 

Иногда

мы

будем

гово­

рить, что Q само является

вероятностным

пространством

(например,

если

речь

идет

об

элементе

со из

вероят­

ностного

пространства).

В

этом

случае

всегда

предпо­

лагается,

что i

 

и

Р

уже

определены.

 

Элементы из зФ

называются

 

событиями,

а

число

Р (Л) — вероятностью

события

А.

Если

 

Р ( Л ) = 1 ,

то

говорят,

что

событие А

имеет

место

почти

наверное.

 

 

 

 

 

 

 

(Q, зФ, Р)

Пусть

задано

 

вероятностное

пространство

и множество

Е.

Случайным

 

элементом

 

на

Е

или

слу­

чайным

 

объектом

называется

 

отображение

 

X

множе­

ства Q в

Е.

В

этом

 

случае

для

всякого со е= Q имеем

Z (со) <= £ .

Типичная

задача

состоит в

том,

что

рассма­

тривается

множество

В

из

Е

и

разыскивается

вероят­

ность

такого

 

множества

элементов

со,

что

X (©) е= В.

Конечно, мы должны предполагать (или доказать в кон­

кретном случае),

что

Z " ' ( f l ) e ^ . Тогда

вместо

Х~1(В)

или {ю: Х(а) е= В }

мы

просто записываем

1 е 5 и

можем

говорить о событии: «X принадлежит 5» . Если собы­

тие 1 е В

определяется условием &(Х), то вместо

{ X G B }

мы пишем

{91 (X)} и говорим

о событии: «X удовлетво­

ряет условию !&(Х)».

Если

это событие имеет

место

почти наверное, то мы говорим «Z почти наверное удо­

влетворяет условию 01 {Х)У> и пишем

&(Х)

п. н.

Пусть, например, £' =

{0,1},

^ G

i ,

и

пусть ото­

бражение

Х=\А

определяется следующим

образом:

 

\ А (<&) — \,

если

со е=

А,

 

 

 

1л (ю) = 0,

если

<йфА.

 

^

Тогда равенство

« 1 л = 1 »

есть

другая

форма записи

события

А.

 

 

 

 

 

 

3. Распределение и подобие

Очень важным является случай, когда множество Е совпадает с R, т. е. с действительной прямой. Мы гово­ рим, что отображение X из Q в R есть действительная

12

ГЛАВА I

случайная

величина, если Х~1 (/) е s4- для каждого интер­

вала / действительной прямой. Вообще, если Е — топо­ логическое пространство, то мы говорим, что отображе­

ние X из Q в Е

является случайной величиной в

Е,

если X~l{G)<^s4-

для каждого открытого множества

G

из Е. Частными случаями являются действительные слу­ чайные величины, комплексные случайные величины, случайные величины в R" и случайные векторы в линей­ ном топологическом пространстве. Для каждого эле­

мента

В из cr-поля

порожденного

открытыми множе­

ствами

в Е («борелевским

полем»

Е), элемент

Х~1(В)

принадлежит зФ. Отображение

p(X~'(fi)) определяет

положительную

меру ц х

общей

массы 1 на {Е, 9&),

кото­

рая называется

распределением

случайной величины X.

В частности, распределение действительной случайной величины X есть мера, порожденная возрастающей функцией

цх(х) = Р(Х <=(-<*>, х]).

Если цх

сосредоточена

на

интервале I я \хх пропорцио­

нальна

лебеговой

мере

на

/,

то мы говорим,

что слу­

чайная

величина

X равномерно

распределена

на /.

Две случайные величины в топологическом

простран­

стве Е, имеющие одно и то же распределение, будут

называться

равнораспределейными.

X,

В общем случае нам задается случайный объект

который отображает Q в Е — множество без какой-либо

топологической структуры. Тогда X естественным обра­

зом переносит структуру вероятностного пространства Q

на Е. А именно, ст-поле $ х состоит из тех подможеств

В

множества Е, для которых Х~х

(В) е

s4-, и для любого

В е ^

мы полагаем \ix (£) =

Р {Х~1

(В)).

Очень

легко проверить, что (Е,

!%х, цх)

является вероят­

ностным пространством. Пусть заданы два случайных объекта Х{ и Х2, принимающие значения из Е и опре­ деленные на двух (или на одном и том же) вероятностных

пространствах;

мы говорим,

что Xt и Х2

подобны,

если

вероятностные

пространства

[Е, Шх^,

и (Е, $х^

\лх^

совпадают.

 

 

 

 

 

 

НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

13

 

Если Е — топологическое

пространство, то

случайный

объект X является случайной величиной тогда и только

тогда, когда борелевское поле

$

содержится

в

$ х .

 

 

Если

Е — топологическое

пространство,

а

Х{

и

Х2

— равнораспределенные

случайные

величины

в

Е,

то

они

подобны. Обратно,

если

Х{

и Х2 — подобные

случайные величины, то они равно распределены.

 

 

Отныне мы можем говорить о подобных случайных

векторах

в линейном пространстве или подобных

слу­

чайных последовательностях, или, наконец, о подобных случайных рядах, не предполагая, что задана какая-либо топология. Типичный пример: два ряда

оо

 

оо

S

е„и„

и 2 (—1)"е„и„,

п=1

 

п—\

где е„ определены

так,

как на стр. 10, а «„ — произволь­

ные векторы в линейном пространстве, являются подоб­

ными случайными

рядами.

 

4.

Произведение

вероятностных пространств

Если

заданы

два

вероятностных

пространства

(Q,, s4-x, Pi)

и (Q2,

s&2,

Р2 ), то можно

доказать, что

существует

единственное наименьшее

вероятностное

пространство (Q, Х^2>

-^I X А2, Pi ХРг) с о следующими

свойствами:

 

 

 

 

Qi X

&2 является обычным декартовым

произведением

множеств Qi и Q2,

•s^i X s&2 является ст-полем на Q{ X Фг> которое содер­

жит

произведения А^ X А2

(Ai

е s£x и

А2^я?2),

Pi X Рг

является полной

вероятностью

на

(Q, Х^г»

^ 1 X ^ 2 ) . причем (P1XP2)(AlXA2)=Pl(Ai)

 

Pa{A2)(A1sstlt

А2 е

s£2).

 

 

 

 

 

 

 

Вероятностное пространство ( Q , X ^ 2 ,

Х^г> Pi ХРг)

называется

произведением

 

вероятностных

пространств

(Q,, s&i, Pi)

и

(Q2, $ФЪ Рг); о н

о

часто будет

обозначаться

через

Qi X ^г-

 

 

 

 

 

 

Если задана конечная или бесконечная

последова­

тельность

вероятностных

пространств (Q„, бФп, Р„), то

снова

можно

доказать,

что

существует

единственное

14

ГЛАВА 1

вероятностное пространство (1Ш„, Ш£„, ПР„) со следую­ щими свойствами:

1)ГШ„ является декартовым произведением мно­ жеств Q„;

2)Yis&n является а-полем, которое содержит все

произведения

вида

ПЛ„,

где

An&s&n,

причем

An — Q,n

для всех значений п, за исключением конечного

их

числа;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) ПР„ является полной вероятностью на (1Ш„, Ш$„),

такой,

что

(ПР„)(ПЛ„) =

ПР„(Л„)

для

всех

произведе­

ний YlAn упомянутого

выше

вида.

 

 

 

является

Мы

будем

говорить,

что

(Пй„, ILs£„, ПР„)

произведением

вероятностных пространств

(Q„, sfin,

Р„)

или просто

будем

говорить,

что ГШ„ является

произве­

дением

вероятностных

пространств

&п.

 

 

 

 

5. Стандартная модель. Независимость. Последовательности Штейнгауза и Радемахера

Для наших целей наиболее удобным вероятностным пространством будет пространство Q, имеющее вид

оо

произведения J J Q„, где й„ для каждого п есть сег-

мент [0, 1], s4-n есть ст-поле измеримых по Лебегу мно­

жеств,

а

Р„ — мера

Лебега.

Это

пространство

будет

называться

стандартным

вероятностным

пространством.

Элемент

из

Q

будет

обозначаться

через

© =

(©|, ©2, . . .

©„, . . . ) ,

где 0 ^ © „ ^ 1

для

всех

п.

Последова­

тельность

©1,

©2» •••>

ю„, •••»

рассматриваемая

как

последовательность

случайных

 

величин,

определенных

на Q,

будет

называться

стандартной последовательно­

стью Штейнгауза. Последовательность 8i, е2

е„

 

определенная

равенствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е п

( и ) = 1 ,

если

 

©„с=[0,

1/2),

 

 

 

 

 

е„(©) =

— 1 ,

-если

o „ s [ l / 2 , 1)

 

 

( r c = l , 2 ,

. . . )

будет

называться

стандартной

последова­

тельностью Радемахера. Вообще, рассмотрим произ­ вольное разбиение множества всех целых чисел на непересекающиеся классы А/,, А/2, . •., N/, . . . и положим caw, = {co n } n e J V . Всякая (конечная или бесконечная) после-

НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

15

довательность случайных объектов Хи Х2,

X/,

которые определены на Q и таковы, что X/ при каждом j зависит лишь от ю ^ , называется стандартной последо­ вательностью независимых объектов.

Если задано какое-либо другое вероятностное про­ странство Q* и конечная или бесконечная последова­ тельность случайных объектов У„, определенных на Q*, то мы будем говорить, что Yn независимы ( = взаимно независимы), если существует стандартная последова­ тельность независимых объектов, которая подобна после­

довательности Yn.

Следовательно,

если

У,,

Y2,

 

. ..,

Yn,

•...

— независимые

случайные

величины

со

зна­

чениями

в

топологических

пространствах

Еи

Е2,

• • .

. . •,

Еп

 

то

 

 

 

 

 

 

Р ( Г , е Б „

Г2 е=Я2 ,

. . . . Г я е 5 „ ) =

 

 

 

 

 

 

 

= Р ( 7 , < = В 1 )Р ( Г 2 < = Я 2 ) . . . Р ( У „ е В „ )

для всех п и всех В/ е SSf (<%t — борелевское поле на Et).

Обратно, если Yh

Y2

Yn

— действительные или

комплексные случайные

величины,

удовлетворяющие

всем предыдущим

равенствам,

то они

независимы.

Последовательность, подобная стандартной последо­ вательности Штейнгауза или Радемахера, будет назы­

ваться соответственно последовательностью

Штейнгауза

или последовательностью Радемахера.

Иными словами,

последовательность Штейнгауза — это

 

последователь­

ность независимых случайных величин, равномерно рас­ пределенных на [0,1], а последовательность Радемахера— это последовательность независимых случайных величин,

принимающих

значения

+ 1

или

—1

с одинаковой

вероятностью,

равной

1/2.

 

 

 

 

 

в. Интегрирование. Основные

факты

Если

задано вероятностное

пространство

(Q, s&, Р),

то к нему можно применить обычную теорию

интеграла

Лебега.

Если

X — действительная

случайная

величина

на Q, интегрируемая

по

Лебегу относительно

Р, то мы

Смотрите также файлы