Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

Н Е К О Т О Р Ы Е Ф А К Т Ы И З Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

21

в состоянии доказать,

что

вектор

Y обладает некото­

рым

заданным

свойством

п. н. (в

Q X

 

отсюда

сле­

дует,

что

существует

В ' Е Й

И фиксированный

вектор

х =

Х(а>'), такой, что Х — х обладает тем же свойством

п. н. (в Q). Это есть принцип

симметризации.

 

8. Случайные функции и аналитические

множества

Общая концепция случайной функции состоит в сле­

дующем.

Нам

заданы

вероятностное

пространство Q

и множества Е и F. Случайная

функция,

определенная

на

Е

и

принимающая

значения

 

в F,

есть случайный

элемент множества

FE

(которое состоит из всех отобра­

жений

множества Е

в F). Подобным образом мы можем

определить случайную меру, случайное распределение, случайный ряд функций и т. д.

Случайную

функцию Ф, определенную на £ и при­

нимающую значения в F, можно рассматривать как

отображение у = Ф{х,

со) из £ Х ^ в F. Для каждого

а е Q мы имеем функцию, заданную в £ и принимаю­

щую

значения

в F,

которую мы обозначим через Ф,

а для

каждого х^Е

мы имеем случайный Э1емент в F,

который мы обозначим через Ф{х). Наиболее интересен случай, когда Е — пространство с полной мерой ц, так как

в этом случае E\Q — снова пространство

с полной

мерой [х X Р- Если Р — подмножество из Е X

то экви­

валентны следующие выражения: «для почти каждого со

имеем (х,

со) е Р

при

почти

каждом х» и «для почти

каждого х

имеем

(х,

со) е Р

при почти каждом со»; не

опасаясь двусмысленности, мы можем говорить, что заданное свойство имеет место почти наверное почти всюду или что оно имеет место почти всюду почти на­ верное. Но совсем не одно и то же: «для почти каж­

дого а,

(х,

со) е Р для каждого х» и «для каждого х,

(х, со) е

Р

при почти каждом со». Следовательно, выра­

жения «почти наверное всюду» и «всюду почти навер­ ное» имеют разный смысл.

Приведенные выше замечания применимы к случай­ ным действительным функциям действительного пере­ менного или к случайным рядам функций. Если мы интересуемся такими свойствами, как непрерывность,

22

Г Л А В А I

дифференцируемость, недифференцируемость, сходи­ мость или расходимость, то вероятность такого свойства можно изучать либо в заданной точке, либо почти всюду, либо всюду. Если данное свойство имеет место в каж­ дой заданной точке почти наверное, то п. н. оно имеет место почти всюду, но не обязательно всюду. Действи­ тельно, намного труднее изучать недифференцируемость, сходимость или расходимость всюду, чем соответствую­ щие вопросы почти всюду.

 

Отметим

особую

роль

аналитических

множеств

в

смысле

Лузина. Если

Q — стандартное

вероятностное

пространство,

то

аналитическое множество

на Q опре­

деляется

как

проекция

на

Q борелевского

множества

в

Й X [0, 1]. Известно,

что

такое

множество измеримо

по

Лебегу. Пусть

случайная

функция / (со, t)

определена

на

Q X [0. П. а

(со,

/)-множество,

где

она

обладает

заданным свойством (Р), есть борелевское множество. Тогда со-множество, где / (со, t) обладает свойством (Р) при некотором /, является аналитическим; следова­ тельно, оно измеримо по Лебегу, т. е. мы можем гово­ рить о событии: {/(со, t) обладает свойством (Р) при

некотором

t}. Подобным же образом мы можем говорить

о событии:

{/(со, /) обладает свойством (Р) при всех / } .

Г л а в а II

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1. Введение

Изучение случайных функциональных рядов есте­ ственно начать с введения ряда случайных векторов

вбанаховом пространстве.

Вэтой главе символ В обозначает банахово про­ странство, действительное или комплексное. Нас инте­ ресуют ряды вида

2>хп,

CD

1

 

где Хп — независимые случайные векторы в В, прини­ мающие значения из некоторого сепарабельного под­ пространства пространства В. В частности, нас интере­ суют ряды

оооо

2

е„и„ = 2

±

" п ,

(2)

1

1

 

 

 

где «„ — фиксированные векторы,

а еи

е2 , . . . , е„, . . . —

последовательность

Радемахера.

 

 

Если В является гильбертовым пространством, то

можно дать простое

необходимое и достаточное усло­

вие для того, чтобы ряд (1) или

(2) был

сходящимся п. н.

В общем случае это не так и подход совсем другой. Сначала мы изучим методы суммирования. Такие

методы используются в анализе, когда сходимость не имеет места. В нашем случае, как будет показано ниже (п. 2 — 4), суммируемость почти наверное влечет либо сходимость почти наверное, либо так называемую су­ щественную сходимость.

После этого мы ограничимся рядами вида (2). Ос­ новной результат следующий: если ряд (2) п. н. схо-

оо

дится и 1 / = 2 8„и„, то. функция Р (Н К || > я) очень

24 Г Л А В А I I

быстро стремится к нулю при д:->со. Этот результат

имеет следующее приложение. Пусть

0 ^ Хп

^

1 и ряд (2)

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

п. н. сходится. Тогда ряд

2

e„A,„wn

сходится

п. н. Этот

принцип

сжатия

будет

доказан

и

использован

позже

(в п. 5 и 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые дополнительные результаты и обобщения

даются в упражнениях (п. 7).

 

 

 

 

 

 

2.

Методы

суммирования

 

 

 

Пусть

нам дана бесконечная

скалярная

матрица

S = (anm)

( п = 1 ,

2,

. . . ;

m = l , 2,

. . . ) ,

(3)

удовлетворяющая

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ann=l

 

( m =

1, 2,

. . . ) .

 

 

(4)

Тогда мы говорим, что S является матрицей

суммиро­

вания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

задан ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2«„

 

( о „ е В ) .

 

 

 

(5)

Рассмотрим ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

anmvm

{п=

1,

2, . . . ) .

 

 

(6)

Если все они сходятся в пространстве В, то их суммы

обозначим

соответственно

через

wlt w2,

 

wn, ... .

Если последовательность

да,,

w2,

 

wn, . . .

сходится

в пространстве В, то ряд

(5)

называется 5-суммируе-

мым. Предел

lim wn

назовем

S-суммой

ряда

(5). Если

все ряды

(6)

сходятся

и

последовательность

ш,, ву2, . . .

wn, . . . ограничена,

то

будем

говорить,

что ряд (5)

S-ограничен,

а число

sup||tw„||

назовем

его

5-границей.

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

Если 5 — треугольная

матрица

вида

 

 

 

 

dnm — 1

при

 

п^-т,

 

 

 

 

 

апщ — О П Р И

п < т \

 

 

 

Смотрите также файлы