Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

16

ГЛАВА I

пишем

l e L 1 (Q), а

интеграл

8{X)=

j

*(ш)Р(Лв)

Q

называем

математическим

ожиданием

X. В

частности,

для

величины

\ А ,

определенной

в п. 2, &{\А)

= Р (Л).

Существует

и

другое

выражение

для # (X)

в

виде

интеграла

Стильтьеса

оо

в" (X) =

|

х dyx

(х) = |

хцх

(dx).

- о о

R

Если заменить X подобной случайной величиной, то &"(Х)

не

изменится.

т. е. | X f е= L 1

(Й), то р-й момент

*

Если

l e t " (Q),

определяется

как &{\Х\Р).

Если I e L !

( Q ) ,

то X

назы­

вается

действительной

случайной

величиной

второго

порядка.

Дисперсия

X

определяется

равенством

V{X)

=

%{\X-${X)\2).

Для каждой действительной случайной величины

X

математическое

ожидание

оо

Ф* (") =

* ( * ' " * )

= \

eiuxdv.x{x)

—.оо

является

характеристической

функцией

X.

Согласно

элементарному

результату

из

теории

преобразований

Фурье — Стильтьеса,

равенство

ух =

Фх' имеет место

тогда и только тогда, когда X

и X'

подобны.

Определения

пространства

V

математического

ожидания

<В'(X) и дисперсии

V(X) обобщаются на ком­

плексные

случайные

величины.

Теперь

сформулирием основные

теоремы

из теории

интегрирования.

,

Л е м м а Б о р е л я — К а н т е л л и .

Если

2 Р (Ап ) < °о,

го Р (НтЛ„) = 0. Если

события Аи

А2

Ап, ...

неза-

оо

висимы

и 2i Р ( Л „ ) =

оо,

ТО Р ( Н т Л „ ) = 1 .

0 0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

2 <S (1»„) < оо, то

оо

2

1/„ <

оо п. н. Если

случайные

величины

1А

неза-

]

^

оо

висимы

и П ( 1 - ^ ( 1 \ ) )

= 0

Для

всякого

N,

то

п. н.

оо

П

(1 — Л„) = 0 для каждого

N.

З а к о н

н у л я

и е д и н и ц ы . Пусть Q =

ГШ„, а X —

действительная случайная

величина,

определенная на

Q,

такая, что

* ( Ш , . Ю 2 F F L » ' <

D « + I ' • • • ) = = Z K ' < U 2

K'an+V

•••)>

каковы

бы ни были

со2, . . . , ап,

са[, ю'2, ...,

<ап, соп + 1

Тогда

X подобна

постоянной. В

частности, если

X =

\ А ,

то Р(Л) =

0 или Р ( Л ) = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

%п{Х)=

J . . .

J" JX(co)P,(dco)P2 (do) . . .

Pn(da>).

В частном случае, когда Х — 1 А , имеем &п(Х)

&

п{\—Х)=0

для каждого п; следовательно, &(Х)8>(\

— X)

=

==Р(Л)(1 — Р(Л)) = 0. В

общем

случае,

если

задано

НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

19

действительное

число

г,

то

Р {X > г) равно 0 или I

и

поэтому случайная величина X подобна постоянной.

Приведем

теперь

два

элементарных

неравенства,

первое из которых

очевидно.

Н е р а в е н с т в о

I . Если

I e L ' (Q) и

а > 1, то

личину Y второго порядка. Тогда

P[\Y-»(Y)\>aVV{Y))^.

Это неравенство

называется

неравенством

Бьенэйме.

Н е р а в е н с т в о

I I . Если

I e L 2 ( Q ) и

0 < А < 1, то

Р{Х^Х&

(X)) > ( 1

-

X)2 ё2

{Х)18

{Х%

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Х'(о>) =

Х(<о),

если

X (ш)>А<Г(Х),

Х'(а)

=

0,

если

Х{а)<М?(Х).

Согласно неравенству Шварца,

имеем

<Г2 (X') <

8

{X'2)

Р (X'

ф 0) <

S {X2) Р{Х^Хё

(X)).

Кроме того,

&(Х)^&{Х')

+

К&{Х).

Поэтому

(1 — х)2

s2

{х) <

s {х2) р {х > лаг (х)).

20

ГЛАВА I

7.

Симметрические

случайные

векторы

Возьмем случайный вектор X в линейном простран­

стве. Будем

говорить,

что

X — симметрический

случай­

ный вектор,

если

— X

и X

подобны.

В

частности,

мы

будем

говорить

о

симметрических

случайных

величинах

с

действительными .или

комплексными

значениями. На­

пример,

случайная величина Радемахера е ( Р ( е = 1 ) = 1 / 2 ,

р(е =

— 1) =

1/2)

является

симметрической.

Если

Q —

стандартное

вероятностное

пространство,

то

случайная

величина

е

I

является

симметрической

при

всех /,

по-

скольку

„2Я1'Ш,

2nl

( О , + 1/2)

—е

i =

e

w

>.

Очень часто мы будем изучать последовательность

независимых

симметрических

случайных

векторов

Х{,

Х2,

• • •.

Хп

Сделаем

некоторые

предварительные

замечания.

Если

Хи

Х2,

Хп, ...—независимые

симметри­

ческие

случайные

векторы, а е*, &*„ • • • > еп>

• • • — " фикси­

рованная

последовательность

значений

+

1 или

— 1, то

случайные

последовательности

и [&'пХп]

подобны.

Если

Xi,

Х2,

Хп

...—независимые

симметри­

ческие

случайные

векторы,

а

е ь

е2 )

е„,

. . . —неза­

висимая

от Хп

последовательность

Радемахера,

то

слу­

чайные

последовательности

{Хп}

и

{гпХп}

подобны.

Рассмотрим,

например,

свойство Р,

которым

может

(сходимость, суммируемость

и т. п.). Предположим, что

для

всякой

последовательности

Радемахера

{е„} и

всякой

фиксированной

последовательности

векторов

{Хп}

после­

довательность {enXn}

почти

наверное

обладает

свой­

ством Р. Кроме

того,

предположим,

что

«{Хп}

обладает

свойством

Р» есть некоторое

событие. Тогда

это

собы­

тие имеет

место почти

наверное.

прин­

Это последнее замечание, которое мы назовем

ципом

редукции,

объясняет

важность

последователь­

ностей

Радемахера в этой книге.

Если задан случайный вектор X, определенный на Q,

то

случайный

вектор

Y (со, со') = X (©) — X (о/)> опреде­

ленный

на

произведении Q X Q,

очевидно,

является

симметрическим

случайным вектором. Иногда мы

будем