Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

которая имеет те же собственные числа и собственные векторы, что и матрица D, за исключением первого собственного числа, вместо которого появляется нуль.

Поэтому при помощи изложенного итерационного метода на­ ходим наибольшее собственное число и принадлежащие ему соб­ ственные векторы матрицы D1# Это и будет вторым собственным числом и вектором для матрицы D.

Таким образом можно найти все собственные числа и принад­

лежащие им собственные векторы.

 

 

 

 

 

Уточнение собственных

чисел

и

собственных

векторов. Пусть

имеем приближенную систему собственных чисел %{ (і =

1 , п)

и

собственных векторов

 

 

 

 

 

 

 

Y f' = Y f { y f ,y '$ ,

 

 

(/ = Т7п)

 

 

матрицы D, причем все собственные числа Хс

(і — 1, п) различные

и действительные.

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что эти собственные числа, будучи подставлены

в исходное уравнение, дают

 

 

 

 

 

 

DY(P — }HY p = fh

 

 

(4.52)

где fi — вектор невязки, норма которого

 

 

 

 

 

Л Ш <1.

 

 

 

 

Далее для уточнения

собственных чисел и принадлежащих

им

собственных векторов положим

 

 

 

 

 

 

Y, = Y p +

2

 

 

 

 

 

 

 

6=1

 

 

 

 

 

 

 

s v

 

 

(4.53)

При этом все величины сса* и

считаются

малыми. Подставляя

(4.53) в уравнение

DYp —

 

= 0,

 

 

(4.54)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DYP + 2 <4f’D Y p = (%і +

8\) (YP + 2

« № > ).

(4.55)

б=і

 

 

 

б=і

 

 

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем

 

D Yp + 2

= \ Y p

+ blfYp + %2 apyP

(4.56)

6 = i

 

 

 

 

6 = i

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

ft-'r £ a p h Y p = Ö\YP + 4 І

ccPYp.

(4.57)

6=i

 

 

6=i

 

 

 

 

Умножая это равенство на Y c и пренебрегая малыми величина­ ми высших порядков, получим

( fiY (k)) = 8 \

(і = І7п).

(4.58)

106

Аналогично, умножая /г на Y[k\ будем иметь

-

Л-

-

(4.59)

ил-g --- --- “

 

 

 

%С —

%е

 

 

Итак, уточнение системы собственных чисел и собственных век­ торов сводится к их последовательному уточнению.

1. Задаются системы приближенных собственных чисел и соб­ ственных векторов вида

 

У(,0)

: ,у(0>/,,® „<°>

,М Х

= ^1 > 1 1

~ : I‘ 1I [УИ . У12

,

У іп }

К - К

И*=>у ? { А А

 

У2л }»

=

у у ^ Р і У Я , А

 

иі0)\

 

 

 

 

упп;•

2. Вычисляются векторы невязки

U = DEf1 — %YfK

3. Вычисляются компоненты вектора

F {(h, уГ), (/2, y f ), . . . . <fa,yP)}

4. Уточняются собственные числа

*!" = м®+tf„ Л .

5. Образуются числа

„U>

 

if i,

У ? )

':

 

-

у°> ’

 

 

 

II

(fl.

УІ0>)

 

 

 

 

•

 

 

 

II

(fl.

У®)

 

 

 

(4.60)

Если в знаменателе получается ^ — %{ = 0, то вместо а}1' пи­ шется нуль.

6 . Вычисляются компоненты вектора 8У\0):

■.(0)

„ ( 0)

 

Уп

У12

 

„ (О )

„ (

)

,,(°)

У21

# 2 20

 

У 2 л

6 У[0) =

 

 

 

„ ( 0)

,.<0)

S& J

_Улі

Ул2

 

7. Вносится поправка вектора Уі0) в виде уШ = у(0) + 8Yi0)'

107

 

U)

 

8 . Производится нормировка уточненного вектора К}

 

Y U)

U)

(4.61)

 

\\У \

9.Производятся соответствующие изменения; весь процесс пов­

торяется до тех пор, пока величины

и 6 Ä,(fc) не станут меньше

заданного числа е = 1 0 'т {т — 1 , 2 ,

...).

Для матрицы большого порядка точность вычисления последую­ щих собственных значений может снизиться. В этом случае целе­ сообразно воспользоваться методом «заброса», т. е. вычесть собст­

венные ближайшие к заданному Xq значения матрицы

Dx = ( D - X 0E)~l.

Метод вычисления комплексных собственных значений. Решение векового уравнения при наличии комплексных собственных чисел является одной из сложных задач вычислительной математики. В на­ стоящее время общая математическая теория определения комплек­ сных собственных чисел еще далеко не разработана. Вместе с тем современное развитие техники ставит перед исследователями все более сложные задачи. Большинство из них требует определения комплексных собственных чисел действительной матрицы высокого порядка.

Ниже описывается метод, разработанный для вычисления комп­ лексных собственных чисел и принадлежащих им собственных век­ торов действительной матрицы высокого порядка [16].

Пусть задано характеристическое уравнение вида

\А — ХЕ\ = 0.

(4.62)

Если матрица А — вещественная, а ее собственные значения комплексные, то каждому комплексному значению X соответствует

комплексно-сопряженное значение X, т. е. X = а — iß.

Таким образом, в этом случае всегда будут по меньшей мере две разные матрицы собственных значений и отношение компонент итерированных векторов уже не даст величину собственного зна­

чения.

и Х 2 — собственные векторы, принадлежащие комп­

Пусть

лексно-сопряженным значениям Хг и Х2. Произвольный начальный вещественный вектор

Y0 — С1Х1 + С2Х г + • • • + СпХп.

(4.63)

Любую компоненту вектора A kY2можно записать таким образом:

 

Yk =

+

а2^2)+

• • ■

*>

(4.64)

где комплексно-сопряженные константы имеют вид

 

аг ~ ре'“1,

а2 =

ре~г“\

ап -

1 = ре'“*,

а„ =

ре

Хі = ге‘ъ,

Х2=

ге~10',

Хп-, = ге‘\

 

(4.65)

К = гё~‘\

 

yk = 2рг* cos (kv -+- а) -f- • ■•

 

(4.66)

Ю8

В выражение (4.66) входит множитель cos (kv + а), с измене­ нием номера итерации значение его колеблется по величине и знаку.

Из равенства (4.66) с точностью до членов второго порядка мож­ но показать, что

COS V =

Ук— 1

_1_

Ук+ 1

 

г ---------------

Гг

 

y k

 

 

Ук

 

 

 

Квадрат модуля собственного значения

 

 

Г2 = К К

 

 

 

 

Если отбросить члены порядка

X

 

\к

то г2

будет определяться

~

j ,

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

У к+ 1 Ук+2

 

 

 

 

 

yk+2

У к+3

___,

Ol

*1

г2

і л а7\

Ук

Ук+1

 

 

 

-- *9

(Д.О/;

 

 

 

 

 

Ук+1

Ук+2

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

X = (cost) + i sin v).

(4.68)

Обозначим

 

V =

r sint).

(4.69)

К — r cost),

Исходя из последовательности векторов AkY0, можно найти собственный вектор

х = 1 + Щ.

Вектор AkY0, если пренебречь членами порядка (^3А і)\ можно представить в виде

AkY0 =

+ САХ

(4.70)

или

 

 

AkY0= 2rk [а (£ cos kv — г| sin kv)] — b (gsin kv -f- tj cos kv), (4.71)

2x%kC = 2 (I — гт}) (cos kv + i sin kv) (a + ib) rk —

 

= 2rk [a (£ cos kv — r) sin kv) — b (rj cos kv -f- £ sin kb) +

 

+ i \b (I cos kv — г] sin kv) +

a (t]cos kb -J- £sin kv)]}.

(4.72)

Следовательно, вектор AkY0стремится к вещественной части соб­ ственного вектора, умноженного на комплексный коэффициент 2 АС. Мнимую часть этого вектора

ут (2ХХкС1) = b (£cos kv — г] sin kv) -f- a (r] cos Ап +

gsin kv) (4.73)

можно получить из последовательности (4.72):

 

-J- (XAkY0— Ak+1Y0) = 2rk [a (rj cos kv +

 

+ gsin kv) + b (g cos kv — г]sin kv)].

(4.74)

109

Так как собственный вектор определяется с точностью до про­ извольного комплексного множителя, то за его вещественную часть

можно принять AkY 0, а мнимая будет определяться по формуле (4.74). Таким образом, и в этом случае процесс последовательных при­ ближений может дать собственные числа и собственные векторы. Для нахождения следующих собственных значений можно ис­ пользовать свойство ортогональности собственных векторов мат­ рицы к собственным векторам транспонированной матрицы А 1. Можно показать, что собственный вектор X пропорционален векто­

ру М*У0 - Ак+1 Y 0.

Действительно

(х + iv) AhY0— Ak+lY0 =

 

 

= и (Im (2xXkC) — Re (2xlkC)} = — 2vX-X.

(4.75)

Вектор X пропорционален вектору X^41f

e

У0, так как

их скалярные произведения тождественно равны нулю

 

{(Х41 (ft> У0 — А1(к+І)У0), X} =

0.

(4.76)

Отсюда

 

 

А1{к)У Д = 0, Л1 №+1)У0Х =

0.

(4.77)

Используя эти два выражения, матрицу А можно преобразовать таким образом, чтобы полученная матрица имела все собственные значения матрицы А за исключением первого.

Перепишем уравнение (4.77) в виде

 

 

2п

и}к%

 

2п

и(к+1%

 

 

 

 

 

2

= 0, 2

= 0.

 

(4.78)

 

 

:=і

 

 

 

/=і

 

 

 

 

 

Выразим компоненты Х г и Хп+і через остальные:

 

 

 

 

 

 

 

2п

 

{икикХ \ - и 1H-iU n - \ - i ) X h

 

 

Хх =

пкик~f l

uk-,Лк

2

 

(4.79)

 

 

и\ ип+ 1

“ 1

“ п + І t= n + 1

 

 

 

 

*„+i =

■

fe+1 .

 

2 (wf«f+1 - « ? +1Uf)X,,

(4.80)

 

 

и■ n+\a \

 

Vf-Л f=l

 

 

 

 

 

или

в матричной форме

= хх1

,0

И п - f- l

• • •

^І2п

 

 

0

« 2

« 3

 

. . х.

(4.81)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

к

 

 

0

1

0

 

. . .

0

0

0

. . .

0

 

N

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

„ 4 - 1

, / + 1

 

 

п к + }

0

**п-1-1

, . * + 1

 

 

« 2

И з

 

 

 

• • •

п

 

 

0

0

0

 

. . .

0

0

0

. . .

0

 

ПО

Смотрите также файлы